數(shù)學是講道理的

薛正檜

導讀：

有理才能讓孩子信服，我們要教有道理的數(shù)學。本文以俞正強老師“除法豎式”為例，以片斷賞析的形式介紹了三個策略，即數(shù)學的道理可以在問題的發(fā)現(xiàn)中萌芽，數(shù)學的道理可以在過程的描述中呈現(xiàn)，數(shù)學的道理可以在材料的更新中彰顯。

聽俞正強老師的課，你會被他幽默風趣的語言所吸引，被他夸張、搞笑的肢體動作所折服。他的課堂看上去節(jié)奏很慢，慢得會讓你有一種錯覺：這不是課堂，僅僅是一次拉家常。但細細品起來，你又會感覺余音繞梁、回味無窮。他會在我們習以為常的、沒有風景的地方找到風景，在我們感覺理所當然的、無需闡述的地方挖出內(nèi)涵，然后以“種子”的力量敘說數(shù)學的每一個據(jù)、每一個理。再聽“除法豎式”一課，這種感覺愈加強烈。

【片斷一】有問題好，還是沒問題好？

師：有一天，我給二年級的小朋友上課，大家看——這是加法的橫式、加法的豎式、減法的橫式……除法的橫式、除法的豎式。我們都會了是吧？（注：上課的是三年級學生）對，我在給二年級小朋友上這個除法豎式的時候，他們的意見很大。你猜他們有什么意見啊？

生：猜不到。

生：可能他覺得，這個除法豎式為什么要這樣寫，而不是直接被除數(shù)寫在上面，除數(shù)寫在下面，然后寫個除號，再一橫。

師：你寫寫看。

生：不知道。

生：我覺得，他們是想問：為什么下面要寫個“0”？

生：為什么要寫兩個“15”？

生：二年級提出的意見，可能就是說除法豎式要像加、減、乘那樣列。

……

師：我想問一問大家，在二年級學這個除法豎式的時候，你們有沒有過這個二年級小朋友的想法？（舉手表決，兩個小朋友沒有這個想法）

師：我們這么多人有這個想法，你作為“有”的代表，我來采訪一下你。你這個想法向老師提問過嗎？

生：沒有。

師：為什么不問啊？

生：因為老師說是那樣寫，然后我就這樣寫了。

師：他的意思是“有什么好問的”，對吧？

生：沒有什么好問的！

師：問題是有的，但有什么好問的？是吧？你為什么會這么想呢？

生：因為老師說的是對的。

生：老師說這樣就這樣了。

生：我們也就腦子里想想罷了，按老師這樣列就可以了。

生：問了也白問。

師：（對沒舉手的兩個人說）這么多小朋友都產(chǎn)生了問題，你們?yōu)槭裁礇]問題呢？

生：來不及想就知道了。

生：我之前看過我媽媽就是這寫的。

師：媽媽的寫法把他想的時間給省略了，來不及想。請對這個事發(fā)表評論：有問題好，還是沒問題好？

……

【賞析】以成人的視角，重新看除法豎式，我們會發(fā)出這樣的疑問嗎？估計很難，因為我們往往把這一切看成理所當然，誠如課上部分孩子說的那樣“有什么好問的”。但孩子們會怎么想呢？由于認知的局限加上表達的不成熟，在第一次接觸除法豎式時，如果沒有特別強烈的材料對比的刺激，他們一般不會明確提出疑問。但他們的潛意識中有沒有這種疑問呢？從俞老師的這節(jié)課看是有的。我們知道，個體知識的發(fā)展通常遵循人類知識發(fā)生的過程，歷史上除法豎式的出現(xiàn)也不是一帆風順的，它是在對類似加、減法豎式的模仿中產(chǎn)生了困惑，進而進行的一種創(chuàng)造性表達。俞老師的高明之處就在于，他再現(xiàn)了這一段歷史，用獨特的視角，讓學生的學習從真正的源頭開始。

2011版課程標準特別強調(diào)了對學生問題意識的培養(yǎng)，并把它分解為四個方面，即發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題，其中發(fā)現(xiàn)與提出問題是前提，是基礎(chǔ)。愛因斯坦說過：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要，因為解決問題也許僅僅是一個教學上或?qū)嶒炆系募寄芏选６岢鲂碌膯栴}、新的可能性，從新的角度去看舊的問題，都需要有創(chuàng)造性的想象力，而且標志著科學的真正進步。”巴爾扎克也說：“打開一切科學的鑰匙都毫無異議地是問號，我們大部分的偉大發(fā)現(xiàn)都應歸功于‘如何，而生活的智慧大概就在于逢事都問個‘為什么。” 把一切學問都看得容易，而自覺無一可疑的人，一定是未曾學習的人。這節(jié)課中，當孩子們都產(chǎn)生了問題后，俞老師還特地安排了評論“有問題好，還是沒問題好？”讓孩子們在反思中進一步增強了對“多問幾個為什么”的認同感，而數(shù)學的道理就在這些問題的發(fā)現(xiàn)中萌芽了。

【片斷二】因為它符合除法的本身意思

師：我告訴二年級的小朋友，這是“規(guī)定”。但他們對我說“那規(guī)定要講道理啊”。究竟有沒有道理呢？我們來分一分。

師：現(xiàn)在要把這15個東西平均分成3份，請一個小朋友幫我分一分。

學生到黑板上去分圓片，如下圖。

師：同學們來看剛才分的過程，首先老師拿來了多少？

生：15個。

師：被他一分，還剩幾個了？

生：0個了。

師：老師從幾個到幾個了？

生：15個到0個了。

師：這15個到哪里去了？

生：分到小盤子里了。

師：被這個小家伙拿走了，是不是？他也拿了幾個？

生：15個。

師：好，我的15個是一堆的，他的15個是怎么樣的？

生：分開的，3個5。

師：所以，這個過程當中一共出現(xiàn)了幾個15？

生：2個。

師：一個15是老師的，一個15是小家伙的。但這兩個15有差別嗎？

生：有。

師：我是一個的，一個15，他是3個的，3個5，15等于15，所以被他拿得一個也不剩了，這個0是我的。

師：現(xiàn)在我們來回憶一下，這兩個豎式，哪一個豎式比較符合這一個過程？

生：右邊的。

師：為什么除法豎式要這樣寫？

生：因為它符合除法的本身意思。

師：后來，那位二年級小朋友說：“原來除法的這個豎式還是很講道理的嘛！”

【賞析】是啊，除法豎式為什么要這樣寫呢？這樣規(guī)定有道理嗎？數(shù)學是理性的、嚴謹?shù)模彩侨宋牡摹⒂星橛辛x的。“規(guī)定”的教學如果不講“道理”，只會扼殺兒童的好奇心和探究欲，學生只會把“知識”當成沉重的負擔，把“方法”當成笨拙的工具。數(shù)學規(guī)定的教學要通過適宜的方式，在適當?shù)臅r機讓孩子感受其合理性，讓他們發(fā)現(xiàn)規(guī)定后面的思想，體驗冰冷后面的溫情。俞老師以一種兒童能理解的方式，把他們的思維外顯，巧妙地借“把15個東西平均分成3份”這一操作性極強的活動，讓他們在兩種豎式的對比中自然接納了新的豎式。在新豎式中，“原有的數(shù)量”“分的數(shù)量”“剩下的數(shù)量”以及“平均分的份數(shù)”“每份的數(shù)量”等關(guān)鍵信息被一一呈現(xiàn)了出來，這樣書寫的優(yōu)勢太大了，因為它符合除法本身的意思，它是對事實的再次呈現(xiàn)。而學生說出的“原來除法的這個豎式還是很講道理的嘛！”就水到渠成。

課聽到這里，你是不是對俞老師深挖知識內(nèi)涵的功力贊不絕口啊！其實這源于他多年來對“種子課”的潛心研究。他認為，在不同課之間，知識是可以遷移的，因為有些知識彼此之間有類似的結(jié)構(gòu)。遷移是學生學習的一種重要能力，這種遷移能力在生長過程中可以不斷完善，在后續(xù)的體驗中可以逐漸臻于成熟。“種子課”就是這些可供遷移、可供生長的關(guān)鍵課。“除法豎式”是一節(jié)種子課，新的除法豎式對學生來說，認識上是一次飛躍，對待種子課，俞老師舍得花時間，舍得花力氣。除法豎式就是對平均分過程的一種記錄。數(shù)學的道理在過程的描述中呈現(xiàn)。從課的進程來看，俞老師抓住了新知識發(fā)生的基點、發(fā)展的節(jié)點，并對后續(xù)相關(guān)內(nèi)容的學習產(chǎn)生了極強的指引、輻射作用。

【片斷三】這個變的過程在哪里？

師：45÷3的豎式有兩種寫法。

師：為什么左邊的是錯的，右邊的是對的？

生：……

師：我是這樣讓他明白的。1個大的表示10，1個小的表示1，我拿來了45個，你來分一分，要平均分成3份。應該怎么分？他是先分小的？還是先分大的？

師：當然是先分大的。

師：接下去怎么分？

學生到黑板上去分圓片，如下圖。

師：這樣分，公平嗎？要平均啊，你平均了嗎？誰能平均？1個10，5個1。

生：把那個10換成10個1。

老師按學生說的方法把1個大圓片換成10個小圓片。

師：同學們，現(xiàn)在會分了嗎？ （按15÷3的方法就可以了）

生：會了。

師：這個45是分幾次來平均的？

生：兩次。

師：關(guān)鍵的一點在哪里啊？

生：把1個10變成了10個1。

師：這個變的過程在哪里？（圈出式子中的15）

師：這位二年級的小朋友發(fā)現(xiàn)45÷3是分兩次的，第一次是把十位上的數(shù)平均，第二次是用個位來平均的。于是他就喜歡上了哪一種豎式啊？

生：第二種。

【賞析】在前面的學習中孩子已經(jīng)認可了除法豎式的新寫法，當15÷3更換為45÷3時，表面上看道理一致，為了記錄這個分的過程，只要把豎式中15換成45，商由5改成15就可以了。但事實上我們的除法豎式卻并沒有這樣寫，它被分成了兩步，是一個長長的豎式。雖然我們可以從商的位數(shù)上去說明，但道理在哪呢？我們怎樣才能講透這一點呢？教材中提供的材料是“4捆小棒加5個小棒”，而俞老師提供的材料是“4個大圓片加5個小圓片”。在教學中選用教材中的材料，學生分起來得心應手，每份15個，因為學生可以自如地把捆著的小棒拆開。在他們眼里，散著的10根小棒是10，捆著的1捆小棒也是10，這沒有什么區(qū)別。所以他們在分的過程中就會直接得出每份15根，沒有分兩次的痕跡，而這恰恰是商是兩位數(shù)的除法中最關(guān)鍵的一環(huán)。改用大、小圓片后，模糊的操作被舍棄了，學生被“逼”向精細的操作。學生知道要先分大圓片，再分小圓片（本質(zhì)是高位算起）。他們創(chuàng)造性地將第一次分剩下的大圓片換成小圓片，與原有的小圓片合并后再分等。大、小圓片的材料結(jié)構(gòu)更符合十進制計數(shù)的認知結(jié)構(gòu)，因為我們要分的是“4個十和5個一”，而不是“45個一”。俞老師通過材料的更新，彰顯出商是多位數(shù)除法的本質(zhì)，令人拍案叫絕。

多年前，吉利汽車老總李書福在談“民族產(chǎn)品如何接軌國際”時，曾總結(jié)過三個策略，即跟隨、突破、超越。首先要加強學習，緊跟國際一流產(chǎn)品，站在潮流的最前面；其次要能把脈出產(chǎn)品的優(yōu)、劣，對局部問題進行專項攻關(guān)，爭取一兩個方面有所突破；最后也是最難的，那就是扎根用戶需求，從源頭開始創(chuàng)新，做出自主品牌，實現(xiàn)彎道超車。細細想來，在對教材的處理上我們何嘗不應該如此呢？先要吃透教材，弄清意圖，保證有一個正確的方向。在此基礎(chǔ)上，根據(jù)學情，對教材進行個性化、本土化處理，避免被教材束縛，爭取有突破。一般情況到這一步就已經(jīng)不錯了。如果有更高的追求，不妨向俞特學習，以兒童的真實學習為源，以數(shù)學的內(nèi)部體系為支撐，重組教材，超越教材，以自己的教學智慧帶領(lǐng)學生去領(lǐng)悟數(shù)學中的一個個道理。這節(jié)課中，俞老師通過兩次不一樣的“平均分”實現(xiàn)了對教材的超越，讓每一個孩子明白除法豎式的“理”。大道至簡，“跟隨、突破、超越”適用于一切學習。

（作者單位：浙江省寧波濱海國際合作學校）

□責任編輯 李杰杰

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