圓錐曲線綜合題中“三角形面積問題”的破解策略

曾慶國??

摘 要：解析幾何是初等數學與高等數學的紐帶，它本身側重于數形結合、形象思維，而它的解題過程則是代數的，綜合性很強，解題的能力要求高，因此歷來是高考的重要內容。分析近年來的高考數學試題，發現解析幾何在高考試題中往往有一道解答題，而解析幾何這道解答題一般是考查直線、圓與圓錐曲線的綜合題以及與其他知識之間的綜合。

關鍵詞：圓錐曲線綜合題；破解；綜合

每個題一般設置了兩個問，第一問一般考查曲線方程的求法，第二問主要涉及最值問題、定值問題、對稱問題、面積問題等，這類問題綜合性大，需靈活運用解析幾何、平面幾何、函數、三角知識等。而反觀學生解答情況來看，相當多的毛病出現在運算上，究其原因，往往由于方法選擇不當或運算不合理（策略意識差），造成中途擱淺或結果出錯。因此，研究如何增強圓錐曲線綜合題的解題策略意識，提高運算的速度和準確度，就顯得很有必要和非常迫切。而圓錐曲線綜合題在解答過程中涉及多個知識點或多個學科知識，并且解題思維方法具有多向性和靈活性，其目的重在測試思維能力和運用知識的能力。由于綜合題的內容較為復雜，涉及面廣，因此掌握基本問題的求解方法是解此類綜合題的先決條件。本文將結合具體的案例談談圓錐曲線綜合題中的基本問題“三角形面積問題”的破解策略，不當之處，敬請指正。

1. 運用面積公式：S=12ah（a為底，h為高）

這個三角形面積公式最常用，其中底邊a通常用弦長公式求解，高h通常用頂點到底邊所在直線的距離（點（x0，y0）到直線Ax+By+C=0的距離公式：d=|Ax0+By0+C|A2+B2）來求解。

（14新課標1理）已知點A（0，-2），橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為32，F是橢圓的右焦點，直線AF的斜率為233，O為坐標原點。

（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）設過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點，當△OPQ的面積最大時，求l的方程。

解析：（Ⅰ）（解答過程略）故E的方程為x24+y2=1。

（Ⅱ）當l⊥x軸時不合題意，故設l：y=kx-2，P（x1，y1），Q（x2，y2）.將y=kx-2代入x24+y2=1得（1+4k2）x2-16kx+12=0。

當△=16（4k2-3）>0，即k2>34時，x1，2=8k±24k2-34k2+1。

從而|PQ|=k2+1|x1-x2|=4k2+1·4k2-34k2+1。

又點O到直線PQ的距離d=2k2+1。

所以△OPQ的面積S△OPQ=12d·|PQ|=44k2-34k2+1。

設4k2-3=t，則t>0，S△OPQ=4tt2+4=4t+4t.因為t+4t≥4，當且僅當t=2，即k=±72時等號成立，且滿足Δ>0。

所以，當△OPQ的面積最大時，l的方程為y=72x-2或y=-72x-2

2. 分割圖形，化斜為直

在處理幾何圖形時，我們可以對任意幾何圖形進行分割計算，以此達到簡化計算的目的。因此，在求三角形面積時，就可以分割求解。

原題展示：（2014年高考福建卷理19）已知雙曲線E∶x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的兩條漸近線分別l1∶y=2x，l2∶y=-2x。

（1）求雙曲線E的離心率；

（2）如圖，O為坐標原點，動直線l分別交直線l1，l2于A，B兩點（A，B分別在第一，四象限），且△OAB的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線E？若存在，求出雙曲線E的方程；若不存在，說明理由。

解析：（1）略（2）由ba=2，雙曲線E的方程為x2a2-y24a2=1。

設直線l與x軸相交于點C。

當l⊥x軸時，若直線l與雙曲線E有且只有一個公共點，則|OC|=a，|AB|=4a，又因為△OAB的面積為8，所以12|OC|

|AB|=8，∴12a·4a=8，∴a=2。

此時雙曲線E的方程為x24-y216=1。

若存在滿足條件的雙曲線E，則E的方程只能為x24-y216=1。

以下證明：當直線l不與x軸垂直時，雙曲線E∶x24-y216=1也滿足條件.設直線l的方程為y=kx+m，依題意，得k>2或k<-2。則C-mk，0，記A（x1，y1），B（x2，y2）。

由y=2x

y=kx+m，得y1=2m2-k，同理得y2=2m2+k。

由S△OAB=S△OAC+S△OBC=12|OC||y1|+12|OC||y2|=12|OC||y1-y2|得，12-mk·2m2-k-2m2+k=8，即m2=4|4-k2|=4（k2-4）。

由y=kx+m

x24-y216=1得，（4-k2）x2-2kmx-m2-16=0。因為4-k2<0，

所以Δ=4k2m2+4（4-k2）（m2+16）=-16（4k2-m2-16），又因為m2=4（k2-4）。

所以Δ=0，即l與雙曲線E有且只有一個公共點。

因此，存在總與l有且只有一個公共點的雙曲線E，且E的方程為x24-y216=1。

點評：上述三角形面積運算注意了化斜為直求面積，通過三角形的割補劃分來求解，故使得運算大大簡化，快速完成解題。若用點到直線的距離求高，并求弦長|AB|，再求面積，運算將非常繁瑣。

太棒了！這是學生由衷的感嘆，性質與證明是他們在不斷的探索中獲得的，老師只是適時地引導，學生也在由淺入深中掌握了三角形面積的計算，喚起了學生的學習興趣。

反思：由特殊到一般，由直觀猜想到推理論證，增強了學生解題的目標意識，避免了思維的盲目性，使得問題獲得迅速、正確、合理的解決。學生也更加熟練地掌握了三角形的計算，收到了較好的教學效果。

3. 運用解三角形中的面積公式：S=12absinC

求解三角形的面積，可用三角形的兩個邊，以及這兩個邊的夾角進行計算。比如2014年高考福建卷理19，第（2）問運用此公式可得解法二如下：

解析：（2）解法二：當直線l不與x軸垂直時，設直線l的方程為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）。依題意得k>2或k<-2。

由y=kx+m

4x2-y2=0得（4-k2）x2-2kmx-m2=0，因為4-k2<0，Δ>0，所以x1x2=-m24-k2，又因為△OAB的面積為8，所以S△OAB=12|OA||OB|sin∠AOB=8，又易知sin∠AOB=45，所以25x12+y12x22+y22=8，化簡得x1x2=4所以-m24-k2=4，即m2=4（k2-4）。又雙曲線E的方程可設為x2a2-y24a2=1，由y=kx+m

x2a2-y24a2=1，得（4-k2）x2-2kmx-m2-4a2=0。

因為4-k2<0，直線l與雙曲線E有且只有一個公共點當且僅當Δ=4k2m2+4（4-k2）（m2+4a2）=0，即（k2-4）（a2-4）=0，所以a2=4，所以雙曲線E的方程為x24-y216=1。

當l⊥x軸時，由△OAB的面積等于8可得l：x=2，又易知l：x=2與雙曲線E：x24-y216=1有且只有一個公共點。綜上所述，存在總與l有且只有一個公共點的雙曲線E，且E的方程為x24-y216=1。

點評：運用解三角形的面積公式也能有效地處理三角形面積問題，但應注意夾角正弦的求解。

總之，圓錐曲線綜合題中三角形面積的求值常用的方法為以上三種。除此之外，三角形面積公式還有海倫公式以及向量形式、坐標形式的面積公式。這里就不再一一舉例說明。同學們只要在平時的練習中多實踐、多總結，則肯定能以簡馭繁、事半功倍，實現優質高效的解題。

作者簡介：曾慶國，福建省晉江市，晉江市毓英中學。