從一道練習(xí)題得到的啟發(fā)

蔡茂

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)很重要 的一個(gè)學(xué)習(xí)內(nèi)容，其基本思想是用代數(shù)的方式解決幾何問題。在直角坐標(biāo)系中，圓錐曲線所對(duì)應(yīng)的方程均是二元二次方程，計(jì)算量比較大，給學(xué)生帶來(lái)一個(gè)學(xué)習(xí)上很大的難點(diǎn)。特別是有一類題型是直線和圓錐曲線相交與弦長(zhǎng)有關(guān)的問題，常用的弦長(zhǎng)計(jì)算公式│AB│=│x1-x2│=（其中k為直線的斜率，（x1，y1）（x2，y2）為A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)）始終避不開需要聯(lián)立圓錐曲線和直線方程，去解一個(gè)二元方程組，或直接解出根或用判別式、韋達(dá)定理尋求兩根和與兩根積的關(guān)系，這都對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力提出很高的要求，學(xué)生從心底很排斥，這就導(dǎo)致這類題目失分很大。

在復(fù)習(xí)中我們碰到了一個(gè)這樣的練習(xí)題，是過焦點(diǎn)的直線和拋物線相交的一個(gè)問題，我發(fā)現(xiàn)如果換一個(gè)思考問題的角度可以有效的避開聯(lián)立方程組的問題提高解題效率。

題目（改編自高三第二輪復(fù)習(xí)資料——特色專題訓(xùn)練小題9之選擇題12）：過拋物線y2=4x焦點(diǎn)F的一條直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，正三角形ABC的頂點(diǎn)C在直線x=-1上，則△ABC的邊長(zhǎng)是

解法1：利用F的坐標(biāo)設(shè)出直線AB的方程：x=my+1，聯(lián)立直線和拋物線方程得出│AB│=4（m2+1）利用正三角形的性質(zhì)表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)（-1，2m3+4m），再用點(diǎn)到線的距離公式求出AB邊上的高，建立關(guān)于m的等式求出m2=2，進(jìn)而求出AB=12解決問題。

解法2：換一個(gè)角度思考直線與拋物線的位置關(guān)系，用直線與 x軸的夾角θ來(lái)表達(dá)直線的傾斜程度，如圖所示。作AM⊥X軸于M，作AN⊥直線x=-1于N，直線x=-1與x軸交于點(diǎn)P，則∣AF∣cosθ=│FM│ =│MP│-│FP│=│AN│-│FP│=│AF│-│FP│=│AF│-2，∴│AF│=

同理│BF│=，從而│AB│=│AF│+│BF│= ，因此只需要求出θ即可。注意到△ABC為正三角形，有豐富的邊角關(guān)系。設(shè)D為AB的中點(diǎn)，作DE⊥直線x=-1于E，易得∠DCE=θ，│DE│=│AB │，│DC│=│AB│，∴sinθ==從而∠DCE=θ，│AB│=12。此解法與解法1相比簡(jiǎn)潔明快，運(yùn)算量明顯減少，準(zhǔn)確率可以得到很大的提高。

解題回顧：當(dāng)直線經(jīng)過了拋物線的焦點(diǎn)與拋物線相交時(shí)，會(huì)產(chǎn)生兩條焦半徑，一條焦點(diǎn)弦。借助拋物線定義，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與它到準(zhǔn)線的距離相等，但換一種表示線段的方法用三角形的相關(guān)知識(shí)解決可以達(dá)到另一種效果。為此我聯(lián)想對(duì)一般的拋物線是不是都有類似的結(jié)論，橢圓和雙曲線是否也有這樣的結(jié)論？

推廣嘗試1：設(shè)拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，直線l過焦點(diǎn)F與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且│AF│≥│BF│，設(shè)l與x軸的夾角為θ，則│AF│=，│BF│=，│AB│=

證明：如圖，設(shè)準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)M，做AC⊥x軸于點(diǎn)C，AD⊥準(zhǔn)線于D

∴︱CF︱=︱AF︱cosθ

︱CF︱=︱CM︱-︱FM︱

=︱AD︱-︱FM︱=︱AF︱-︱FM︱

∴︱AF︱cosθ=︱AF︱-︱FM︱

∴︱AF︱=

同理可得︱BF︱=

∴︱AB︱=

說(shuō)明：①、注意到p與θ均與位置無(wú)關(guān)是形狀量，所以以上焦半徑和弦長(zhǎng)公式適用于所有拋物線，跟焦點(diǎn)具體在什么位置無(wú)關(guān)，但必須要求│AF│≥│BF│。

②、p為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，θ為直線與對(duì)稱軸的夾角，θ∈

③、時(shí)，︱AB︱=2p，此時(shí)AB為拋物線的通徑。

推廣嘗試2：設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為F，直線l過焦點(diǎn)F與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且│AF│≥│BF│，若l與x軸的夾角為θ，則│AF│=，│BF│=，│AB│=

證明：不妨設(shè)焦點(diǎn)F為左焦點(diǎn)，找出橢圓的左準(zhǔn)線（若F為右焦點(diǎn)，則找其右準(zhǔn)線，結(jié)論不變）作AC垂直于x軸于點(diǎn)C，作AD垂直于左準(zhǔn)線于點(diǎn)D，左準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)M

∴=

∴ 同理│BF│=

∴│AB│=

說(shuō)明：①、注意到a、b與θ均與位置無(wú)關(guān)是形狀量，所以以上焦半徑和弦長(zhǎng)公式適用于所有橢圓，跟焦點(diǎn)具體在什么位置無(wú)關(guān)，但必須要求│AF│≥│BF│。

②、a為橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，b為橢圓短半軸長(zhǎng)，θ為直線與橢圓焦點(diǎn)所在對(duì)稱軸的夾角，θ∈

③、當(dāng)時(shí)，，，│AB│=，當(dāng)時(shí)，︱AB︱=，此時(shí)AB為橢圓的通徑。

④、推導(dǎo)此結(jié)論要用橢圓的第二定義。

（作者單位：重慶市長(zhǎng)壽川維中學(xué)）