從一道練習題得到的啟發

蔡茂

圓錐曲線是高中數學很重要 的一個學習內容，其基本思想是用代數的方式解決幾何問題。在直角坐標系中，圓錐曲線所對應的方程均是二元二次方程，計算量比較大，給學生帶來一個學習上很大的難點。特別是有一類題型是直線和圓錐曲線相交與弦長有關的問題，常用的弦長計算公式│AB│=│x1-x2│=（其中k為直線的斜率，（x1，y1）（x2，y2）為A、B兩點的坐標）始終避不開需要聯立圓錐曲線和直線方程，去解一個二元方程組，或直接解出根或用判別式、韋達定理尋求兩根和與兩根積的關系，這都對學生的運算能力提出很高的要求，學生從心底很排斥，這就導致這類題目失分很大。

在復習中我們碰到了一個這樣的練習題，是過焦點的直線和拋物線相交的一個問題，我發現如果換一個思考問題的角度可以有效的避開聯立方程組的問題提高解題效率。

題目（改編自高三第二輪復習資料——特色專題訓練小題9之選擇題12）：過拋物線y2=4x焦點F的一條直線交拋物線于A、B兩點，正三角形ABC的頂點C在直線x=-1上，則△ABC的邊長是

解法1：利用F的坐標設出直線AB的方程：x=my+1，聯立直線和拋物線方程得出│AB│=4（m2+1）利用正三角形的性質表示出點C的坐標（-1，2m3+4m），再用點到線的距離公式求出AB邊上的高，建立關于m的等式求出m2=2，進而求出AB=12解決問題。

解法2：換一個角度思考直線與拋物線的位置關系，用直線與 x軸的夾角θ來表達直線的傾斜程度，如圖所示。作AM⊥X軸于M，作AN⊥直線x=-1于N，直線x=-1與x軸交于點P，則∣AF∣cosθ=│FM│ =│MP│-│FP│=│AN│-│FP│=│AF│-│FP│=│AF│-2，∴│AF│=

同理│BF│=，從而│AB│=│AF│+│BF│= ，因此只需要求出θ即可。注意到△ABC為正三角形，有豐富的邊角關系。設D為AB的中點，作DE⊥直線x=-1于E，易得∠DCE=θ，│DE│=│AB │，│DC│=│AB│，∴sinθ==從而∠DCE=θ，│AB│=12。此解法與解法1相比簡潔明快，運算量明顯減少，準確率可以得到很大的提高。

解題回顧：當直線經過了拋物線的焦點與拋物線相交時，會產生兩條焦半徑，一條焦點弦。借助拋物線定義，拋物線上的點到焦點的距離與它到準線的距離相等，但換一種表示線段的方法用三角形的相關知識解決可以達到另一種效果。為此我聯想對一般的拋物線是不是都有類似的結論，橢圓和雙曲線是否也有這樣的結論？

推廣嘗試1：設拋物線y2=2px（p>0）的焦點為F，直線l過焦點F與拋物線交于A、B兩點，且│AF│≥│BF│，設l與x軸的夾角為θ，則│AF│=，│BF│=，│AB│=

證明：如圖，設準線與x軸相交于點M，做AC⊥x軸于點C，AD⊥準線于D

∴︱CF︱=︱AF︱cosθ

︱CF︱=︱CM︱-︱FM︱

=︱AD︱-︱FM︱=︱AF︱-︱FM︱

∴︱AF︱cosθ=︱AF︱-︱FM︱

∴︱AF︱=

同理可得︱BF︱=

∴︱AB︱=

說明：①、注意到p與θ均與位置無關是形狀量，所以以上焦半徑和弦長公式適用于所有拋物線，跟焦點具體在什么位置無關，但必須要求│AF│≥│BF│。

②、p為焦點到準線的距離，θ為直線與對稱軸的夾角，θ∈

③、時，︱AB︱=2p，此時AB為拋物線的通徑。

推廣嘗試2：設橢圓的焦點為F，直線l過焦點F與橢圓交于A、B兩點，且│AF│≥│BF│，若l與x軸的夾角為θ，則│AF│=，│BF│=，│AB│=

證明：不妨設焦點F為左焦點，找出橢圓的左準線（若F為右焦點，則找其右準線，結論不變）作AC垂直于x軸于點C，作AD垂直于左準線于點D，左準線交x軸于點M

∴=

∴ 同理│BF│=

∴│AB│=

說明：①、注意到a、b與θ均與位置無關是形狀量，所以以上焦半徑和弦長公式適用于所有橢圓，跟焦點具體在什么位置無關，但必須要求│AF│≥│BF│。

②、a為橢圓長半軸長，b為橢圓短半軸長，θ為直線與橢圓焦點所在對稱軸的夾角，θ∈

③、當時，，，│AB│=，當時，︱AB︱=，此時AB為橢圓的通徑。

④、推導此結論要用橢圓的第二定義。

（作者單位：重慶市長壽川維中學）