四步搞定含參數(shù)分段函數(shù)的最值問題

王啟鑄

山東省諸城繁華中學(xué) (262200)

近年來，在數(shù)學(xué)競賽及高考題中出現(xiàn)了一類題型，就是以含參數(shù)分段函數(shù)為背景的函數(shù)最值問題，考生在解答此類題時(shí)感到比較棘手，筆者經(jīng)過研究得出了程序化的解題過程，只要按四步操作即可.希望對(duì)大家有所啟迪.

(Ⅱ)求M(a)；

(Ⅲ)省政府規(guī)定，每天的綜合放射性污染指數(shù)不得超過2，試問目前該市市中心的綜合放射性污染指數(shù)是否超標(biāo)．

四步求解：

(1)先求分段函數(shù)：

(3)比較兩段上兩個(gè)最值的大小，從而確定分段函數(shù)g(t)的最大值：

(Ⅰ)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍;

(Ⅱ)(ⅰ)求F(x)的最小值m(a);

(ⅱ)求F(x)在[0,6]上的最大值M(a).

解：(Ⅰ)略；當(dāng)2≤x≤2a時(shí)，F(xiàn)(x)=x2-2ax+4a-2；

(Ⅱ)(ⅰ)是一個(gè)含參的分段函數(shù)最小值問題，可由四步式：

(1)先求分段函數(shù)：由(Ⅰ)知

(2)再求每一段上的最小值：當(dāng)2≤x≤2a時(shí)，F(xiàn)(x)的最小值為-a2+4a-2；當(dāng)x>2a或x<2時(shí)，F(xiàn)(x)的最小值為0;

(3)比較兩段上兩個(gè)最小值的大小，從而確定分段函數(shù)F(x)的最小值：

(4)下結(jié)論：

(ⅱ)依然是一個(gè)一個(gè)含參的分段函數(shù)最大值問題，可由四步式：

(2)再求每一段上的最大值：當(dāng)0≤x≤2時(shí)，F(xiàn)(x)的最大值為2；當(dāng)2

(3)比較兩段上兩個(gè)最值的大?。弘m然在20，得3≤a<4；令32-8a<0，得a≥4；