探究一道高中數學聯賽預賽題

虞 懿

浙江省金華市第六中學 (321000)

我們知道，數學學習離不開解題，解題教學更是數學教學的重心，從而例題的選擇與講解就顯得尤為重要．競賽(高考)試題是命題專家集體智慧的結晶，其背后蘊藏的知識、思想與內在本質，體現出學科課程教學的重心和導向.因此，研究競賽(高考)試題具有非常現實的指導意義和教學價值．本文通過對一道高中數學聯賽預賽題的深入研究，旨在挖掘試題背后的內涵，彰顯其數學魅力．

1.考題呈現

(1)求滿足上述條件的點P(x,y)的軌跡方程；

(2)設A(-1,0),F(2,0)，問是否存在常數λ(λ>0)，使得∠PFA=λ∠PAF恒成立？證明你的結論．

2.解析品讀

(2)在第一象限內作PF⊥x軸，則P(2,3)，此時∠PFA=90°,∠PAF=45°,λ=2．

品讀：本題第(1)問求動點的軌跡方程，這是解析幾何的重要內容，也是高考命題的熱點和重點．主要考查學生的數形結合、等價轉化、邏輯推理、合理運算、分類討論及創新思維能力．第(2)問是一道返璞歸真的探索性問題，其立意之新、內涵之廣、選材之妙不得不令人嘆服．以新穎的視角、創新的手法進行精心的構思，彰顯新課程的理念，所以是一道創新而不落俗套的好試題，有利于甄別學生的思維層次，具有較好的區分度．

3.引申拓展

“探幽重門深鎖無尋處，疑有碧桃千樹花．”對于一個數學問題，需要多角度的剖析、探究．對于一個數學問題的探究思考，最基本的切入點就是對條件與結論進行變式思考，可以考慮在這些情況下結論是否成立．

圖1

證明：如圖1所示，設A(-a,0),F(c,0),B(x0,y0)(x0≥a).

當x0=c時，易得∠BFA=2∠BAF,綜上可得∠BFA=2∠BAF.

(充分性)由必要性的證明過程可證．

4.題源鏈接

(Ⅰ)求C的離心率e；

(Ⅱ)設A為C的左頂點，Q為第一象限內C上的任意一點，問是否存在常數λ(λ>0),使得∠QF2A=λ∠QAF2恒成立若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

cos∠F1PF2,即4c2=16a2,從而e=2.

(Ⅰ)求雙曲線方程；

(Ⅱ)設Q為雙曲線C右支上動點，F為雙曲線C的右焦點，在x軸負半軸上是否存在定點M使得∠QFM=2∠QMF?若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

(Ⅱ)由雙曲線離心率為2,得b2=3a2,再由上述結論1可知存在定點M(-1,0)使得∠QFM=2∠QMF.

5.探究感悟

美國著名數學家G·波利亞曾說過：“解題是一種實踐性的技術，就像游泳滑雪或者彈鋼琴一樣，只能通過模仿和實踐學到它……你想游泳就必須下水，你想成為解題能手就必須去解題．”然而過多機械化地、重復地訓練，會導致忽略問題的本質，忽視問題的內在聯系．在數學學習過程中，積極尋找問題的本質，把握數學知識的多樣聯系，掌握數學思維方法，體驗數學的理性精神，通過追根溯源，觸類旁通，去探究問題的本質，以達到提高解題效率，提升解題能力的目地．