巧用仿射變換解決高考中解析幾何問題

王子怡 趙臨龍(指導教師)

陜西安康學院數學與統計學院 (725000)

與橢圓相關的問題一直是高考中的重點、熱點問題.由仿射變換可以將橢圓轉化為圓，結合圓的性質求解問題大大降低運算量，節省了運算時間，也在一定程度上拓寬了研究問題的視野.

設點A,B,C,P變換后的對應點為A′,B′,C′,P′,不妨設點P′坐標為(n,m),則C′坐標為(n,0).

例4[5](2015年全國卷Ⅱ理20)已知橢圓C:9x2+y2=m2(m>0)，直線l不過原點O,且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A,B,線段AB的中點為M.

(1)證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值；

因為變換后O′M′⊥A′B′(垂徑定理),∴kOM′·kA′B′=-1.∴kOM·kAB=-9.

|A′B′|2=8,∴|AN|·2|BM|=8.

∴|AN|·|BM|=4.

與參考答案相比較，上述問題利用仿射變換的解法大大降低了利用解析幾何解題的計算量，解題思維也更加流暢，更能接近問題的本質.

[1]賈慧美，基于仿射變換下對橢圓的探討[J].數學教學通訊，2017.12.

[2]周濤，2011年江蘇卷18題的解題研究[J].數學教學研究，2012.2.

[3]周振榮，趙臨龍，高等幾何[M].武漢:華中師范大學出版社，2013.

[4]彭耿鈴，巧用仿射變換妙解一類解析幾何問題[J].數學通訊，2016.z4.

[5]趙臨龍，封閉二次曲線內接四邊形面積最值新探[J].河南科學，2011.11.

[6]唐紹友，2016年北京市高考數學試題特點及教學建議[J].中國數學教育，2017.2.