一道預(yù)賽題的多種解法

金國林

浙江市寧波市鎮(zhèn)海中學(xué) (315200)

一題多解是指從不同的角度，運用不同的思維方式來解決同一道題.它有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，深化思維活動，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，從而提高教學(xué)質(zhì)量.因此在高中數(shù)學(xué)拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)的教學(xué)過程中，適時的引入一題多解是必要的，同時在實際教學(xué)中也是無法回避的.本文就筆者最近碰到的一道2016年江西預(yù)賽題，根據(jù)學(xué)生不同思維方式整理得到四種解法，以餐讀者.

試題設(shè)x、y、z為正數(shù)，滿足xy+yz+zx=1．證明：xyz(x+y)(y+z)(z+x)≥(1-x2)(1-y2)(1-z2)．

法1：原不等式等價于xyz(x+y+z)≥1-(x2+y2+z2)+(x2y2+y2z2+z2x2)，即xyz(x+y+z)≥(xy+yz+zx)2-(x2+y2+z2)(xy+yz+zx)+(x2y2+y2z2+z2x2),即證x3(y+z)+y3(x+z)+z3(x+y)≥2(x2y2+y2z2+z2x2),即證xy(x-y)2+yz(y-z)2+xz(x-z)2≥0，顯然成立．

評析：通過“1”的巧用進行整體齊次化處理，再化簡整理，這是處理此類問題的基本方法，是一種通性通法．

法2：由條件知x,y,z至多一個大于1，若恰有一個大于1，則原式顯然成立；

若x,y,z∈(0,1]，則原不等式等價于2(x2+y2+z2)-2(xy+yz+zx)≥2(x2y2+y2z2+z2x2)-2xyz(x+y+z),即證(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2≥x2(y-z)2+y2(x-z)2+z2(x-y)2,即證(1-x2)(y-z)2+(1-y2)(x-z)2+(1-z2)(x-y)2≥0，成立．

評析：直接展開進行配方和因式分解，再根據(jù)情況進行分類討論，簡單有效．

法3：設(shè)m=x+y+z,n=xyz，∵x+y+z>(x+y)(y+z)(z+x),∴xyz(x+y+z)≥xyz(x+y)(y+z)(z+x)≥(1-x2)(1-y2)(1-z2),故原不等式等價于xyz(x+y+z)≥(1-x)(1-y)(1-z)(1+x)(1+y)(1+z),即證mn≥(2-m-n)(2+m+n),即證m2+3mn+n2≥4.

評析：由于本題是對稱多元不等式，利用基本對稱式進行換元轉(zhuǎn)化，再聯(lián)想到處理齊次對稱不等式的利器——舒爾(schur)不等式，題目迎刃而解．

根據(jù)對稱性，不妨設(shè)π>A≥B≥C>0，則不等式等價于

評析：由題目條件xy+yz+zx=1，學(xué)生容易想到利用三角換元進行嘗試，但對后續(xù)三角不等式的處理有一定難度，需要較強的三角恒等變形能力．

[1]2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西賽區(qū)預(yù)賽[J]．中等數(shù)學(xué)，2017(5).