高中函數零點問題的求法探析

江智如

福建省南平市高級中學 (353000)

1.問題提出

函數的零點問題是近些年高考的熱點，因其涵蓋知識廣，綜合性強，不僅可以考查高中學生的運算能力和化歸思想素養，也能很好地體現試卷的區分度，因此零點問題成為各類綜合試卷與練習的常客．但它也是高中學生比較畏懼的難點之一，許多考生對這類問題束手無策，往往只能放棄，甚為可惜．基于此，本文從提高高中學生的學習效率和做題質量，培養高中學生邏輯推理和數學運算素養的角度出發，探析解決零點問題的有效方法．

2.概念界定

對于函數y=f(x)，把使f(x)=0的實數x稱為函數y=f(x)的零點．即函數y=f(x)的零點就是方程f(x)=0的實數根，也就是函數y=f(x)的圖像與x軸交點的橫坐標，二者是等價的．在日常的教學過程中可“結合二次函數的圖像，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數，從而了解函數的零點與方程根的聯系”．

3.方法探析

在課標課程中，常見的函數零點問題有兩類：(Ⅰ)函數零點(方程根)的求解與判定問題；(Ⅱ)以函數零點(方程根)為載體的參數求解問題．

3.1 函數的零點(方程的根)的求解與判定問題

3.1.1 判斷函數的零點(方程的根)的個數

若函數表達式能夠因式分解，一般采用直接求零點的方法，即：令f(x)=0，通過因式進行求解，有幾個解就是有幾個零點．這類問題主要考查高中學生的運算能力，也就是多項式分解的能力，大部分的高中學生都能解決．

分析：本題考查高中學生對函數概念及分段函數的理解與掌握．因為f(x)是一次和二次的解析式，問題可轉化為直接求方程f(2-x)=3的解．先求得f(2-x)的解析式，再進行求解，最終得到y=g(x)的零點個數為1．

點評：對于由初等函數簡單組合的函數或方程，一般通過直接求解的方式進行解決，這類問題主要考查高中學生的因式分解與運算能力，得分率較高，學生的完成情況較好．

3.1.2 函數的零點所在區間的判定

對于無法直接求解的函數，可從函數零點存在性定理(介值定理)著手．求解步驟為：(Ⅰ)函數f(x)在區間[a,b]上是連續不斷的曲線；(Ⅱ)f(a)·f(b)<0；(Ⅲ)結合函數的圖像與性質(如單調性、奇偶性、周期性)確定函數的零點個數．

例2 (2013重慶理6)若a

A．(a,b)和(b,c)B．(-∞,a)和(a,b)

C．(b,c)和(c,+∞)D．(-∞,a)和(c,+∞)

分析：本題是零點問題的概念題，考查定理的理解和方程的運算能力．根據題意分別求解f(x)在a,b,c三處的函數值，判斷正負關系，得到結果為A．

如同課程中所講，溝通問題會激發強烈的情緒。在嘗試解決溝通問題時，首先要明確表達自己的情緒，坦承自己感受有助于緩和個人情緒。在控制情緒的基礎上，做到中立的評估事實，然后進行有效的溝通而不是對峙。使用非對抗性的語言清楚的表達自己的意思是有效的手段。而我在初次和項目長溝通受到質疑時，并沒有正確的分析問題，嘗試有效的溝通。后來在與項目其他成員溝通時沒有控制住自己的個人情緒，陷入了對峙的狀態，采用了對抗性的語言，并把對方置于自己的對立面，最后沖突也無法得到有效的解決。

點評：對于判定零點區間的問題，一般利用連續函數的零點存在性定理判斷函數值的正負情況，結合函數的單調性進行求解，考查高中學生運算求解和推理論證能力．

3.1.3 函數的零點、方程的根與函數圖像的交點三者之間的互相轉化

利用函數圖像的交點來求解零點個數的問題．首先把方程轉化為初等函數等式，然后分別畫出等式兩邊初等函數的圖像．判斷其是否相交，若相交，交點的個數有幾個，則相應的交點橫坐標就有幾個不同的值，函數就有幾個不同的零點，從而得到原方程的實數根的個數；若不相交，則函數沒有零點，亦即方程無實數根．

例3 (2017江蘇14)設f(x)是定義在上且周期為1的函數，在區間[0,1)上,其中集合則方程f(x)-lgx=0的解的個數是 ．

分析：本題考查數論的相關知識，難度較大，考查高中學生的邏輯推理和運算能力．因為D是有理數集的子集，且D?[0,1)，同時在區間[0,1)上,f(x)∈[0,1)，故lgx=f(x)∈[0,1)，因此可以考慮1≤x<10的情況．利用f(x)的周期性與y=lgx的單調性，結合二者的圖像得到方程解的個數為8．

點評：本題的設計，讓考生體會到有理數集與無理數集之間緊密關系的思想與方法，這不僅能提高高中學生的邏輯推理能力，也能有效地培養高中學生的數學素養．

3.2 以函數零點(方程根)為載體的參數求解問題

以函數零點(方程根)為載體的參數問題，考查高中學生對問題的理解及綜合地應用知識分析、解決問題所需要的抽象概括能力和推理論證能力，考查創新意識，常用3種方法求解．

3.2.1 直接法：根據已知條件構建關于參數的不等式(組)，通過求解不等式(組)確定參數

點評：本題考查了分類討論和化歸的數學思想．通過函數的單調性和y截距的定義，利用兩個函數的圖像關系，得到不等式組進行求解，使問題變得直觀、簡單，體現了數形結合思想的有效性．

3.2.2 分離參數法：根據解析式將參數分離，轉化成函數值域問題加以解決

點評：分離參數法是解決零點問題的有效方法，考查高中學生的化歸思想和數據運算能力，高中學生理解和掌握情況較好，但困難在于方程的化簡和運算上，在日常的練習中可加以訓練．

3.2.3 數形結合法：將解析式變形，畫出相應函數的圖像，利用數形結合的方法加以解決

分析：本題可從圖像入手，利用數形結合的方法，轉化為函數y=f(x)與y=b的交點個數問題．因為y=x3與y=x2的交點為(0,0)和(1,1)．由冪函數的圖像可求得，當a<0或a>1時，滿足條件，故a的取值范圍是(-,0)∪(1,+)．

點評：數形結合是零點問題中常用的思想方法，運用數形結合思想，可以使抽象的零點問題直觀化、形象化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握零點問題的本質，發現解題思路，能避免復雜的計算與推理，簡化解題過程．

4.方法總結

函數零點是綜合性的問題，其解決方法不是單一絕對的，常需要以上多種思想與方法的結合才能解決，它能夠培養高中學生函數與方程化歸的思想、數形結合的應用意識．因此，在具體的教學實踐過程中，可從“結合初等函數的圖像，了解函數的零點與方程根的聯系，判斷方程根的存在性及根的個數”的角度進行思考與探究．