復變函數(shù)論教學方法探討

伍代勇

復變函數(shù)論是高等師范類院校數(shù)學類專業(yè)的一門專業(yè)必修課，無論從知識結構層面的承前啟后，還是從數(shù)學能力和素養(yǎng)方面的培養(yǎng)來看，復變函數(shù)論的教學對師范生的培養(yǎng)都起著十分重要的作用。有關復變函數(shù)論的教學方法已引起了廣泛的討論[1-4]。本文通過實例，應用類比逆否、逆命題和反例等3個方面開展教學。

1 應用類比思想的教學

當復數(shù)的虛部等于零時就化為實數(shù)了，實數(shù)可以看成是復數(shù)的特例。因此在教學中要有意識地將函數(shù)在復數(shù)域與實數(shù)域內的定義、定理、公式等進行對比。事實上，不僅在實數(shù)域內的函數(shù)定義、極限、連續(xù)、導數(shù)、微分、積分以及級數(shù)等都可以類推到復數(shù)域，這些思想和方法也能類推到復數(shù)域，如復積分的參數(shù)積分法，就完全類推了第一類曲線積分中的參數(shù)積分法。當然，也要注意復數(shù)既然是實數(shù)的推廣，也必然會存在一些不同之處，如實數(shù)域內成立的等式關系、代數(shù)恒等式、三角函數(shù)等式等，在復數(shù)域內仍成立，而不等式關系卻不一定成立，如復數(shù)的大小關系、正余弦函數(shù)的模不再小于等于1，等等。因此，在復變函數(shù)論課程教學中，要將類比的思想貫穿始末，并從保留、失去、增加的角度把握其與實變函數(shù)的異同，指出復變函數(shù)比實變函數(shù)更復雜的特性，引導學生在學習中既要找出相似點，也要弄清不同點，有利于學生深刻理解、靈活掌握復變函數(shù)的理論和方法。

2 合理利用逆否、逆命題教學

在復變函數(shù)這門課程教學過程中發(fā)現(xiàn)，有部分學生在潛意識中沒有原命題與逆否命題等價的概念，沒有寫逆否命題的習慣，也不會寫定理的逆否命題，更不會想到用逆否命題去研究問題。下面通過幾個實例來探討如何運用逆否、逆命題進行教學。

例1[5](定理2.1）設函數(shù) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域 D內有定義，且在D內一點z=x+iy處可微，則（1）偏導數(shù) ux,uy,vx,vy在點 (x,y)處存在；（2）u(x,y)，v(x,y)在點(x,y)處滿足柯西-黎曼方程。

注意到，該定理的逆否命題可以簡單地敘述為若條件（1）、（2）有一個不成立，則 f(z)在點z=x+iy不可微。在教學中，除了要詳細地闡述該逆否命題，還要通過實例說明其是證明函數(shù)在一點處不可微的有效手段。如研究函數(shù)f(z)=x-iy在復平面內的可微性，容易看到u(x,y)=x,v(x,y)=-y。故u(x,y),v(x,y)在復平面內任意點(x,y)處都不滿足柯西-黎曼方程，從而由文獻[5]定理2.1的逆否命題可得 f(z)=x-iy在任意點z=x+iy處不可微。

同時，也要強調定理2.1的逆命題不成立。如考慮函數(shù) f(z)=在點z=0處的可微性，易知u(x,y)=,v(x,y)=0。由二元函數(shù)偏導的定義，有ux,uy,vx,vy存在且滿足柯西-黎曼方程。然而通過復變函數(shù)導數(shù)的定義可得函數(shù) f(z)=在點z=0處卻不可導，從而不可微。

由該結論的逆否命題容易得到，若級數(shù)的通項不趨于零則其必發(fā)散。可以看到該逆否命題是判斷級數(shù)發(fā)散的一種直接有效的方法。在教學中，不僅要強調用該逆否命題判斷級數(shù)的有效性，還要引導學生注意原結論的逆命題不成立。以經典的調和級數(shù)為例，該級數(shù)雖然通項趨于零,但它是發(fā)散的。

例3[5]定理4.18若函數(shù) f(z)在|z-a|＜R內解析且不恒等于零，a為其零點，則必有a的一個鄰域，使得 f(z)在其內無異于a的零點。

在教學中，可以先讓學生獨立地寫該定理的逆否命題。有的學生不能正確地寫出其逆否命題，問題主要體現(xiàn)在這里條件比較多，學生不知道該對哪些內容進行否定。所以在教學中，一定要向學生強調“函數(shù) f(z)在|z-a|＜R內解析且a為其零點”可以看成一個大的前提條件，這里不能被否定。這樣，學生就較容易寫出該定理的逆否命題：若函數(shù) f(z)在|z-a|＜R內，a為其零點，且在a的任意鄰域內，f(z)都有異于a的零點，則f(z)必恒等于零。事實上，這個逆否命題就是經典的唯一性定理。在課堂上可以通過這個逆否命題完美地引出文[5]中定理4.18與后面唯一性定理的聯(lián)系，讓學生能同時掌握這幾個定理。

例4通過證明逆否命題成立得出原命題成立，即通常所說的反證法。例如文[5]中定理6.11：若函數(shù) f(z)在區(qū)域D內單葉解析，則在D內 f'(z)≠0。

若直接證明該定理難度較大，而考慮其逆否問題“若解析函數(shù) f(z)在區(qū)域D內某一點z0處有f'(z0)=0，則 f(z)在D內非單葉的”就簡單多了。事實上，文[5]就是通過反證法利用儒歇定理證明了 f(z)在D內是非單葉的而得到定理6.11。

因此，在教學中講解一個定理時，根據(jù)需要盡量給出逆否命題。對一些常用的逆否命題，要求學生自己嘗試寫逆否命題，并逐步掌握和運用逆否命題的能力。

3 通過反例進行教學

1980年美國數(shù)學家蓋爾鮑姆出版了一本有關反例的經典著作《分析中的反例》。他曾說過“一個數(shù)學問題若能用一個反例予以解決，給人的刺激猶如一出好戲劇”。讓學生學會構造反例不僅是培養(yǎng)學生數(shù)學思維的有力手段，而且也是課堂教學的基本訓練內容。學生在剛開始學習某個基本概念、定理和公式的時候，通常對這些概念、定理和公式的理解不甚全面和透徹，因此在教學過程中，需要通過對命題的條件加強或減弱，對概念的內涵和外延進行討論，反例是最好的處理方法。下面給出一些具體反例應用。

復變函數(shù)是將函數(shù)從實數(shù)域推廣到復數(shù)域，它的許多概念與數(shù)學分析有著必然的聯(lián)系，有些性質甚至完全一樣，但有些性質卻截然不同，在教學中尤其要注意。

例5 在實數(shù)域內sinx,cosx都是有界函數(shù)，而在復數(shù)域內該性質就不再成立。如判定級數(shù)的斂散性。有學生可能這樣判定：由收斂，所以原級數(shù)收斂。這里學生把cos(in)當成了實變函數(shù)中的有界函數(shù)，從而得到了錯誤結果。事實上，注意到

由例1可得原級數(shù)發(fā)散。

在課堂上，通過構造反例，既可以揭示概念的本質，又可以加深學生對概念的理解。

例6 在數(shù)學分析中，很難構造出處處連續(xù)又處處不可導的函數(shù)，而在復數(shù)域內卻很容易找到這樣的實例，如 f(z)=zˉ其對應的u(x,y)=x,v(x,y)=-y，易知這里兩個二元函數(shù)u(x,y),v(x,y)均在平面內處處連續(xù)，再由復變函數(shù)連續(xù)的充要性可知，f(z)=zˉ在復平面內處處連續(xù)。但由導數(shù)定義容易判定其在復平面內處處都不可導。

通過構造反例，明確定理、公式的適用范圍，加深對定理、公式的理解。

例7柯西積分定理對函數(shù) f(z)的實部與虛部不成立。如 f(z)=z，其在復平面內處處解析，取積分路徑C:|z|=1。由參數(shù)積分法，令z=eiθ,θ∈[0,2π]，分別有

這樣，盡管函數(shù) f(z)沿C的積分為零，但 f(z)實部與虛部沿C的積分卻都不等于零。

例8 柯西積分公式是柯西積分定理的推廣，而很多學生在如何運用柯西積分定理會感到棘手。問題主要體現(xiàn)在沒有較好地弄清楚積分的被積函數(shù)?？挛鞣e分定理敘述如下：f(z)在以光滑曲線C為邊界的區(qū)域D內解析，在C上連續(xù)，則對 z∈D，有

注意到已知條件是函數(shù) f(z)在區(qū)域D內解析，而上式的被積函數(shù)在區(qū)域D不是解析的，而是有且

其中C為|z|=1。部分學生沒有意識到被積函數(shù)在積分路徑所圍區(qū)域內解析，而錯誤的運用柯西積分公式得到I= 2 πiz|z=2=4πi。再如求積分僅有一個奇點。如求積分

而導致錯誤。

在復變函數(shù)論教學中運用反例來說明問題，首先要注意反例的選取，總的來說要以簡單應用為準，教師在課前應該精心挑選，反復斟酌，若選取的反例晦澀難懂，會適得其反。其次，在教學中要通過創(chuàng)設問題的情景，激發(fā)學生興趣，引導學生自己構造反例，從而達到教學目的。，其中C為|z|=3。有些學生沒有認真分析被積函數(shù)在積分路徑所圍的區(qū)域內有兩個奇點，直接運用柯西積分公式得到

4 結束語

總的來說，在復變函數(shù)論課堂教學中，要根據(jù)教學內容，充分利用“類比，寫逆否、逆命題，舉反例”的教學方法，積極調動學生的積極性和主動性，讓學生主動求和、積極思維，從而提高復變函數(shù)論課程的教學質量。

參考文獻：

[1]張慶.復變函數(shù)論課程教學改革的探索與實踐[J].唐山師范學院學報,2017,39(2)：121-122.

[2]伍代勇.復變函數(shù)教學中的幾點體會[J].安慶師范學院學報(自然科學版),2012,18(3)：92-94.

[3]王言芹.關于不同專業(yè)《復變函數(shù)》教學的體會[J].蘭州文理學院學報,2015,29(3)：102-105.

[4]劉顯全.復變函數(shù)教學法探討[J].大學數(shù)學,2012,28(2)：155-158.

[5]鐘玉泉.復變函數(shù)論[M].4版.北京：高等教學出版社,2013：53,172,269.