上證綜合指數波動率的建模分析

林晨

緒論

（1）課題的背景、研究意義

1.1.1收益率

收益率指的是投資者在進行一項投資時所獲得的回報率。假設是標的資產在時刻的價格。

當期簡單收益率：若投資者持有某種標的資產，持有期從第t-l天到第f天，則對應的簡單收益率為：

其中：P_t= InP_t在實際的金融實踐分析過程中，我們經常是利用連續復合收益率，這是因為連續復合收益率有著簡單收益率所不具備的特點，而這些特點是金融研究中需要具備的。首先，連續復合收益率比簡單收益率更能夠反映資產的收益情況。其次，連續復合收益率具有一些更好處理的統計性質，方便我們進行一些金融研究。

（2）波動率

波動率是在金融交易中的一個重要指標，它是資產收益率的條件標準差，是在金融衍生品的定價中扮演著重要的角色。然后，由于波動率的一個特殊的性質，它是不能夠被直接的觀測的，于是這對異方差模型的預測帶來一定影響。

股票收益率ARMA模型

（1） AR模型

其中：p是非負整數。

（2） MA模型

滑動平均模型在金融收益率的建模過程中具有很重要的作用，是另一種簡單模型。移動平均模型：將白噪聲過程進行推廣或者將白噪聲過程看做一個自變量滯后相應時期的模型。

一階滑動平均模型（MA（1）模型）：

（3） ARMA模型

在我們實證分析的過程中，我們會發現單一利用AR模型以及MA模型，其實在刻畫真實數據時效果并不是很好的。從而，學者們就需要建立更好的模型來刻畫一些數據，通過結合AR模型以及MA模型，有幾位學者建立了自回歸滑動平均模型（ARMA模型）。在實際的金融研究過程中，我們一般不需要直接利用ARMA模型來描述收益列序列，但在波動率建模的過程中ARMA模型扮演很重要的角色。對于最簡單的自回歸滑動平均模型ARMA（1，1），有：

股票收益的波動率模型

（1）經典的標準差模型

我們這里所講的標準差是資產收益率的條件標準差，也就是資產收益率的波動率。波動率建模過程中，我們經常會運用經典的標準差模型，這些模型有著各自的特點，在做參數估計時有著不同效果，有著各自的優缺點，需要我們在建模分析過程中充分利用好這些模型。下面簡單介紹一下不同波動率模型的提出者。

（2）股票等金融資產波動率的常見特性

股票等金融資產波動率并不能被直接觀測的，例如，在計算金融資產波動率時，我們一般只需要交易日的每日收盤價。雖然波動率并不能被直接觀測的，但我們能夠在資產收益率的時間序列里看到波動率的一些特征。

1.波動率時間序列存在波動率聚集。金融資產如股票價格或者是本文所研究的上證綜合指數在大的波動之后還存在大的波動，而小的波動之后往往是伴隨著小的波動的，在圖像上呈現m來的是在一段時間內表現為高波動率，而在有的時候就會出現一定的低波動率。很多的金融市場都存在波動率聚集的，A股市場亦是如此的。

2.波動率的時間序列在實際過程中一般都是連續的，波動率間斷比較難得出現，上下波動跳躍也是很難得見到的，這樣為分析波動率有一定的好處。

（3） ARCH、GARCH模型

3.3.2 GARCH 模型

比較ARCH模型，可以看出 GARCH模型比ARCH模型的表達式更加復雜，從而在刻畫金融資產收益率的波動率時，能夠更好的描述這一過程。

上證綜合指數收益率、波動率建模分析

要對上證綜合指數收益率、波動率進行建模分析，那么必然需要下載建模過程中所需的數據。于是，我們先在網易財經中找出上證綜合指數的歷史數據，一般我們只需要下載近幾年上證綜合指數的收盤價就夠了。

（1）上證綜合指數收益率ARMA建模實證

從網易財經中下載的上證綜合指數收盤價并不能直接使用，需要我們先進行數據的預處理。這里我們選取的時間區間為：2016年7月25日到2017年1月18日，共有120個樣本數據。

根據Box-Jenkins的理論研究，在建模的步驟中需要如下進行：首先，我們需要判斷原始數據時間序列的平穩性，這是因為不同時期上證綜合指數的波動性是不同。若時間序列是不平穩，原序列不能夠直接用來建模分析，需要利用差分變化等方式使得時間序列滿足平穩性條件。

第一步：打開Eviews8軟件，點擊Open a Foreign （such as），點擊View-Graph-Line graph，得出了原始數據

從圖1我們可以發現，這一時期內的上證綜合指數的波動還是較大，也就是說時間序列是不平穩的。畫出一階差分后的序列圖，rt為收益率數據的時間序列，輸入代碼：series dx=d（ rt），生成一個一階差分序列，再畫m一階差分序列的折線圖，如下圖所示：

從圖2中，我們可以看出：對原始數據進行一階差分之后的一階差分時間序列在一定程度上是平穩的。然而，這僅僅只是我們從圖中直接觀察得出的初步結論，要知道其是否是平穩序列，我們仍還需要進行ADF檢驗。

利用Eviews8對一階差分序列做單位根的檢驗，需要如下操作：選取一階差分序列dx，點擊View-Unit RootTest-lst difference-OK，得出結果，如下圖所示：

從圖3中，我們可以看出： ADF的t值為-7.848756，在1%、5%、10%的置信水平下的t值分別為-3.489659，、-2.887425、-2.580651。7.848756要大于3.489659， 2.887425，以及2.580651，從而我們可以根據這一對比得出拒絕原假設，因此該一階差分序列是平穩的。

第二步：在對原始數據進行一階差分后，得出了一個平穩序列，即完成了平穩性處理。于是，接下來我們需要求ACF和PACF等一些能夠描述序列特征的相關統計量，然后再利用AIC準則來確定ARMA模型的階數P和Q。

求ACF和PACF的操作方式如下所示：第一種方式（菜單方式），點擊X序列，選擇菜單中的View--Correlogram，在跳出的對話框中選擇Level和lstdifferent.第二種方式（命令方式），在命令框中輸人命令：ident rt.同樣在跳出的對話框中選擇Level和lst different。下圖即所求的ACF和PACF：

從圖4中，我們可以觀察到：上證綜合指數收益率數據的相關圖并不是急劇變化的，而是一步步慢慢衰減的，因此收益率時間序列便是一個不平穩序列，與我們最初的直觀判斷是一致的。

第三步：在選取模型的階數的過程中，我們一般是利用ACF和PACF的截尾性，即是否截尾或者拖尾來確定。若我們選擇AR模型：應當根據ACF是拖尾的，PACF是截尾的；若我們選擇MA模型：應當根據ACF是截尾的，PACF是拖尾的；若我們選擇ARMA模型：應當根據ACF和PACF都是拖尾的。根據上圖所示，ACF以及PACF無截尾性，因為我們選擇ARMA模型。接著，我們需要利用t值以及AIC法則來確定ARMA模型滯后性的P與Q。

在數據擬合的過程中，P和Q的取值一般都只取1或者是2，一般很少有取值超過2的。利用Eviews8分別得出四個模型的估計結果，具體步驟：在主窗口中點擊Quick--Estimate Equation，然后再Equation specification的窗口下分別輸入：dxma（l）ar（l）； dxma（l）ar（2）；dxma （2） ar （1）； dxma （2） ar （2）.分別得出以下四種結果：

ARIMA（1，1，1）中AR （1）的t值為-0.3 86162，p值為0.7001，AR （2）的t值為-66.11124：

ARIMA（1，1，2）中AR （1）的t值為-71.74361，P值近似為0，MA （2）的t值為-46.79320，P值也近似為0。

ARIMA（2，1，1）中AR （2）的t值為-0.301777，P值近似為0.7634，MA（1）的t值為-106.4222，P值近似為0。

ARIMA（2，1，2）中AR （2）的t值為0.689724，P值近似為0.4918，MA（1）的t值為-801157，P值為0.4247。

根據上圖的四個實驗結論，我們能夠發現：ARIMA（1，1，2）中AR模型和MA模型都通過了檢驗，而ARIMA（1，1，1），ARIMA（2，1，1）以及ARIMA（2，1，2）這三個模型擬合效果相對較差，因此我們就利用了ARIMA（1，1，2）模型。

結論分析：在對上證綜合指數收益率ARMA建模實證分析過程中，根據Box-Jenkin建模思想，首先對收益率進行平穩性分析，若該時間序列是不平穩的，我們需要對不平穩序列做差分變化，使得時間序列滿足平穩性條件。通過以上的實證分析，我們可以知道所取時間段的上證綜合指數收益率序列是不滿足平穩性條件的，這里我們選擇做一階差分變化，得出了一個一階差分序列。接著，得出收益率時間序列的ACF以及PACF。

（2）基于標準差的金融資產波動率實證

在實際的金融研究過程中，方差或者標準差通常是用來衡量金融資產價格變動的一個重要指標，標準差同樣也用來做為風險測度的標準。標準差用符號σ表不，計算標準差的數學表達式：

其中：Ⅳ表示研究數據的個數；μ表示樣本均值，這里指的是所選取樣本上證綜合指數收益率的均值。

波動率是金融資產收益率的條件標準差，反映了標的資產投資回報率的變化程度，波動性代表了未來價格取值的不確定性。上證綜合指數同股票價格一樣，上證綜合指數的波動程度代表了上證市場的風險變化。本文中，我們將基于標準差對上證綜合指數波動率和深證綜指波動率進行實證分析。

第一步：首先從網易財經網站中分別下載上證綜合指數和深證綜指的收盤價的歷史數據，由于歷史數據較多，于是我們就研究最近一段時間兩個綜合指數的實際波動狀況。選取的時間區間為：2016年3月29日到2017年1月18日，共200個收盤價的歷史數據。

第二步：先利用excel，根據收益率的計算公式分別求兩個綜合指數的收益率，這樣我們分別得出了上證綜合指數和深證綜指收益率的時間序列，每個綜合指數都有199個收益率數據。

第三步：利用標準差計算公式求各自收益率的均值，上證綜合指數收益率的平均值計算公式為：

根據公式（4.2.5），我們計算出了上證綜合指數的標準差為0.008695211，深證綜指的標準差為0.012497197。

結論分析：在基于標準差的金融資產波動率實證分析過程中，本文通過計算上證綜合指數和深證綜指的標準差來判斷這兩個綜合指數的變化程度。我們知道：如果計算得出的標準差數值大，則可以表明該時間序列的偏離程度大，即該組數據穩定性不好。通過上述的分析，上證綜合指數的標準差比深證綜指的標準差要小很多，這就表明了深證綜指的變化程度越大，越不穩定。而且，我們還可以看出，上證綜合指數和深證綜指收益率都是正，說明在所選取的這一時期內，我們投資上證綜合指數和深證綜指都可以獲利。

（3）基于ARCH模型、GARCH模型描述波動率實證

4.3.1 基于ARCH模型描述波動率實證

這里，我們選擇ARCH模型來刻畫所研究對象的波動性。以上證綜合指數為研究對象，從網易財經中獲取所需的歷史數據，一般只選取收盤價，選取時間段為2015年5月1日到2017年1月18日共500個日收盤價。用P表示收盤價，則{P_t}為此收盤價的時間序列。根據以相鄰兩個交易日收盤指數的對數一階差分公式來計算出上證綜合指數收益率，數學表達式為：