一道數學分析練習題的多種證法

劉璇 王秋芬

【摘要】本文應用數學分析中的積分中值定理、拉格朗日中值定理、介值性定理給出一道數學分析練習題的三種解法，并研究了這三個定理之間的內在聯系.

【關鍵詞】數學分析；練習題；多種解法

通過對數學分析課程的學習，我們基本掌握了微積分學的相關定理，在一次小測試中，我們發現了這樣一道練習題，如下：

通過上面的證明，我們發現同一習題可由積分第一中值定理、介值性定理以及拉格朗日中值定理證明出來，這三個定理之間是否有一定的內在聯系呢？其實通過對數學分析的學習，我們知道積分第一中值定理可以用介值性定理進行證明，從而積分第一中值定理可以解決的問題，均可以轉化為由介值性定理來解決，因此，此題既可由積分第一中值定理證明，又可以由介值性定理來證明.又因為此題形式與拉格朗日中值定理結論一致，條件也滿足，因而，可轉化為用拉格朗日中值定理來證明.

【參考文獻】

[1]汪義瑞，石衛國，邵春芳，等.數學分析簡明教程[M].成都：西南交通大學出版社，2014.

[2]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京：高等教育出版社，2001.