柯西中值定理的逆問題與漸進性初探

楊晶

【摘要】本文主要研究了柯西中值定理逆問題，首先對柯西中值定理與高階柯西中值定理進行了簡要介紹，在其基礎上，將其與“中間點”漸進性聯系到一起，對高階柯西中值定理進行了推廣，并獲取了一些結論，針對逆問題的研究，提出命題，并對命題進行證明，驗證逆命題是否成立.對于漸進性問題，采用兩個引理，分別設定了兩個條件，通過泰勒公式運算得到多個公式，經過推理分析，判斷命題是否成立.

【關鍵詞】柯西中值定理；逆問題；漸進性

在微積分理論當中，占據比重比較大的內容是微分中值定理，并廣泛應用到各個領域.近幾年，很多學者將目光轉移向了“中間點”漸進性研究方向，除此之外，還包括一些逆問題的研究.為了對這些問題進行深入研究，對本文在已有研究的基礎上，將兩者結合起來，對柯西中值定理逆問題進行分析，提出逆命題，并對該命題做出了證明.另外，本文還對該定理的漸進性進行了初探.

以上為柯西中值定理的逆命題探究內容，基于柯西中值定理，提出兩種命題方式，其中一種命題方式為：首先，假設函數在某閉區間上連續，在此開區間上可導，判斷是否存在兩個數值，使得命題成立.經過推理驗證分析，該命題不成立，并列舉了實例.接下來通過添加一些附加條件，判斷逆命題是否成立.另外一種命題方式為：假設函數滿足3個條件，驗證逆命題是否成立，依據條件，提出了三種假設，對這三種假設依次做出分析與論證，從而得出相應結論.

三、關于高階柯西中值定理的“中間點”δ的漸進性初探

接下來本文將探究基于高階柯西中值定理的兩個漸進性問題，其中一個是當區間[c，d]的斷點d→c時，探究柯西中值定理“中間點”δ的漸進性；另外一個是當區間[c，d]的斷點d→c時，探究二階柯西中值定理“中間點”δ的漸進性.這兩個問題的分析論證方法相同，基于定理，提出兩個假設條件，用泰勒公式進行運算，對運算結果進行處理與分析，從而驗證命題是否成立.

以上為本文對柯西中值定理的逆問題與漸進性做出的論述.通過查找文獻資料，在已有定理的基礎上，提出逆命題并做出了相應論證.其中，針對逆問題的研究，提出了相應的命題并對命題進行了證明，從而驗證逆命題是否成立.對于漸進性問題，采用兩個引理，分別設定了兩個條件，如果滿足條件，則通過泰勒公式運算得到4個公式，再次對其進行推理分析，經過驗證，確定命題成立.這些研究內容可以為今后柯西中值定理研究奠定基礎，從而為定理研究拓寬思路，達到加深對命題理解的目的.

四、總 結

近年來，柯西中值定理逐漸成為人們關注的重點，并加大了在考試中的比重.雖然很多人對此定理有一定認識，其中部分人能利用這個定理求解一些實際問題，但是對定理逆問題的研究不是很多，而柯西中值定理的逆問題與定理的漸進性占據了數學研究領域的重要部分，必須對其給予一定重視.本文在該定理的基礎上，將其與漸進性聯系到一起進行初探.

【參考文獻】

[1]李文娟.柯西中值定理的逆問題及漸進性[J].數學的實踐與認識，2014（22）：293-298.

[2]劉麗娜.高階柯西中值定理中間點的漸近性及誤差估計[J].高等數學研究，2014（1）：22-28.

[3]姚元金.柯西中值定理在證明中值問題中的教學體會[J].考試周刊，2016（97）：49-50.

[4]陳新一，王學海.Cauchy中值定理的逆問題[J].甘肅教育學院學報，2004（1）：5-9.

[5]劉鑫.柯西定理的兩種證明方法分析[J].神州旬刊，2013（16）：197-198.

[6]王良成，馬秀芬，楊明碩.再論Cauchy微分中值定理的逆問題[J].大學數學，2016（5）：101-104.

[7]李昆，董泉發，艾小偉，等.積分型Cauchy中值定理的逆問題[J].南昌航空大學學報（自然科學版），2013（3）：61-64.

[8]劉麗娜.廣義積分型Cauchy中值定理及其逆定理[J].淮陰工學院學報，2014（5）：16-20.