某一類矩陣方程的解及其應用

滕常春

【摘要】本文主要討論了一類矩陣方程的解及其應用.

【關鍵詞】矩陣方程；特征值；可換矩陣

一、引 言

矩陣方程AX=XB是矩陣論中常見的一個方程，它是否只有零解與A，B的特征值密切相關.本文給出了這類矩陣方程只有零解的一個充要條件，并且利用這個結論解決了幾個用其他方法或結論較難處理的例子.

二、主要結果

定理 方陣A，B沒有公共的特征值，當且僅當矩陣方程AX=XB只有零解.

證明 （必要性）設矩陣A，B沒有公共的特征值，從而它們的特征多項式沒有公共根，因而互素，設f（x）為A的特征多項式，則易知f（B）可逆.設X0是矩陣方程AX=XB的解，則易知對任何多項式g（x）都有g（A）X0=X0g（B），特別地，f（A）X0=X0f（B），而f（A）=O，f（B）可逆，因此，X0=O.

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