淺談“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”在數(shù)學(xué)概念課教學(xué)中的案例探究

鄭賢才

一、問(wèn)題呈現(xiàn)，尋途解誤

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中明確指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程和本質(zhì).”然而，在數(shù)學(xué)實(shí)踐中，由于種種原因，部分教師對(duì)概念的形成過(guò)程重視程度不夠.認(rèn)為數(shù)學(xué)概念就是一種規(guī)定，只要把數(shù)學(xué)概念給學(xué)生交代清楚，再通過(guò)舉例辨析，明確概念的外延，就算是對(duì)概念認(rèn)識(shí)到位了，學(xué)生不能認(rèn)識(shí)到概念的形成過(guò)程和本質(zhì)屬性，在應(yīng)用數(shù)學(xué)概念時(shí)，只能是死記硬背或套用，導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)思想方法得不到相應(yīng)的提高.本文旨在通過(guò)典型案例，通過(guò)“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”的方法揭示數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，從而讓學(xué)生認(rèn)識(shí)和領(lǐng)會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想方法.

二、“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”，案例實(shí)踐

（一）形成性概念

形成性概念就是同類(lèi)事物的共同性、關(guān)鍵屬性，可由學(xué)生從大量的同類(lèi)事物的不同例證中發(fā)現(xiàn)，從而形成概念.

案例1 三角函數(shù)概念

問(wèn)題1：前面學(xué)習(xí)了角的概念的推廣，推廣后的角是如何定義的？它和初中所學(xué)的角有哪些不同？

意圖：讓學(xué)生復(fù)習(xí)推廣后的角的概念，即角的頂點(diǎn)放在坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊與x軸正半軸重合，然后讓角的終邊繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所得到的幾何圖形.角可分為正角、負(fù)角和零角，且終邊相同的角可以表示為{β|β=α+k·360°，k∈Z}.

問(wèn)題2：根據(jù)初中所學(xué)的銳角三角函數(shù)的概念及角的推廣，如果將銳角的頂點(diǎn)放在坐標(biāo)原點(diǎn)，相鄰的直角的一邊放在x軸的正半軸，那么銳角三角函數(shù)中的對(duì)邊、鄰邊、斜邊分別對(duì)應(yīng)直角坐標(biāo)系中的哪些量？用坐標(biāo)系中的量又是怎樣定義銳角三角函數(shù)的？

意圖：將初中所學(xué)的銳角三角函數(shù)的定義解析化，用坐標(biāo)系中的坐標(biāo)表示對(duì)應(yīng)的量，為三角函數(shù)的定義推廣做鋪墊.

問(wèn)題3：在銳角三角函數(shù)的定義中，取終邊上任意一點(diǎn)，得到三角函數(shù)的值都不變.如果取終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)（在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓叫單位圓），又是如何簡(jiǎn)化三角函數(shù)的定義的？

意圖：用單位圓定義三角函數(shù)，有利于三角函數(shù)定義的進(jìn)一步推廣.

（二）歸納性概念

歸納性概念是該概念在學(xué)生大腦中已經(jīng)有了直觀(guān)的雛形，且只是直觀(guān)的感知，還沒(méi)有形成完整的數(shù)學(xué)概念，需要通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言準(zhǔn)確地完善數(shù)學(xué)概念.

案例2 函數(shù)的單調(diào)性

問(wèn)題1：初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)一次函數(shù)、反比例函數(shù)等.請(qǐng)同學(xué)們畫(huà)出一次函數(shù)y=x+1，反比例函數(shù)y=1x的圖像，觀(guān)察圖像說(shuō)明圖像從左到右是如何變化的？

意圖：通過(guò)圖像，讓學(xué)生直觀(guān)認(rèn)識(shí)函數(shù)是遞增的、遞減的圖像特征.

追問(wèn)：由描點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)圖像的過(guò)程可知，由于自變量的變化才引起函數(shù)值的變化，函數(shù)圖像從左到右是上升的或是下降的，反映了函數(shù)值隨著自變量的變化怎樣變化？

意圖：通過(guò)直觀(guān)感知函數(shù)值隨著自變量x的增大而增大（或減小）的過(guò)程.

問(wèn)題2：在x軸上，從左到右自變量在增大，如何用數(shù)學(xué)符號(hào)反映？

意圖：自變量x取兩個(gè)值x1，x2，當(dāng)x1

問(wèn)題3：若自變量x在x1，x2處的函數(shù)值分別為f（x1）>f（x2），那么自變量在增大，引起函數(shù)值在增大（或減小），如何用數(shù)學(xué)符號(hào)表示？

意圖：當(dāng)x1f（x2））.

（三）演變性概念

演變性概念就是從低維到高維，從低級(jí)到高級(jí)的演變過(guò)程，是在事物發(fā)展過(guò)程中，由于新問(wèn)題的出現(xiàn)，而在原有知識(shí)的基礎(chǔ)上無(wú)法解決的問(wèn)題，需要引進(jìn)新的概念.

案例3 復(fù)數(shù)的引入

問(wèn)題1：當(dāng)初，人們?yōu)榱藬?shù)數(shù)的需要認(rèn)識(shí)了自然數(shù)，但在刻畫(huà)相反意義或解決諸如3-5這樣的計(jì)算時(shí)，所產(chǎn)生的矛盾是如何解決的？

意圖：引進(jìn)了負(fù)數(shù)，并增加了新的符號(hào)“-”，從而把數(shù)擴(kuò)充到整數(shù)集.

問(wèn)題2：有了整數(shù)之后，為了解決2÷3的問(wèn)題，又該怎么辦呢？

意圖：引進(jìn)分?jǐn)?shù)，還要引進(jìn)一種新的符號(hào)——分?jǐn)?shù)線(xiàn)或除號(hào).

問(wèn)題3：有了分?jǐn)?shù)以后，數(shù)集從整數(shù)集擴(kuò)充到了有理數(shù)集，但還有問(wèn)題無(wú)法解決，如等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為1，其斜邊長(zhǎng)是多少？又無(wú)法解決，怎么辦？

意圖：必須引進(jìn)新的符號(hào)，于是就出現(xiàn)了根號(hào)“ ”，將有理數(shù)集擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集.

追問(wèn)：有理數(shù)的四則運(yùn)算法在新的數(shù)集——實(shí)數(shù)集中能否實(shí)用？

意圖：在數(shù)集擴(kuò)充過(guò)程中，原來(lái)的運(yùn)算法則仍然適用，為引進(jìn)新的數(shù)集做準(zhǔn)備、做鋪墊.

問(wèn)題4：在實(shí)數(shù)集中，我們還有無(wú)法解決的問(wèn)題，如x2=-1，那又該怎么解決？

意圖：讓學(xué)生自然想到必須引進(jìn)新的運(yùn)算、新的符號(hào)才能解決這個(gè)問(wèn)題.于是引進(jìn)新的符號(hào)“i”，并規(guī)定i2=-1，從而將實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集.

三、問(wèn)題導(dǎo)學(xué)、總結(jié)反思

“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”必須從一些具體的事例、熟悉的知識(shí)中探究概念的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性，將共同的本質(zhì)屬性歸納、概括出來(lái)，形成相應(yīng)的概念.譬如，三角函數(shù)的概念，就是通過(guò)初中所學(xué)的銳角三角函數(shù)的概念，以及學(xué)生熟悉的角的概念的推廣，將兩者中共同的本質(zhì)屬性揭示出來(lái)，即銳角的頂點(diǎn)放在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊即直角三角形中銳角的一條邊與x軸的正半軸重合，相應(yīng)的鄰邊、對(duì)邊便對(duì)應(yīng)角的終邊上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，這樣對(duì)于銳角三角函數(shù)的概念就自然地通過(guò)角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)這一本質(zhì)屬性來(lái)表示，角的終邊繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，對(duì)邊、鄰邊這些量已經(jīng)無(wú)法體現(xiàn)，由于角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)始終存在，為下一步的三角函數(shù)概念的推廣奠定基礎(chǔ).通過(guò)“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”不但讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程，而且對(duì)知識(shí)共同的本質(zhì)屬性也有了更加清楚的認(rèn)識(shí).