借助一題多解促進思維發展

鮑遠春

【摘要】本文首先闡述了思維、思維品質及數學解題的含義，然后通過兩個教學實例，揭示一題多解在促進思維發展方面的具體做法，為進行類似教學提供示范，并進行教學反思.

【關鍵詞】數學；一題多解；思維

作為新課程改革的實踐者，我們應該怎樣更好地讓學生掌握知識和技能，提高他們的創新思維能力？這是每位教師始終應該思考的問題.數學教學離不開解題，我們認為，精心地選擇典型例習題，適當地尋求一題多解，不失為培養學生數學思維的發散性、創造性，提高學生思維品質的有效途徑.

一、相關概念的含義

心理學認為，思維是人腦借助語言對客觀事物本質屬性及規律的概括和間接的反應過程，思維的品質包括思維的廣闊性、思維的批判性、思維的深刻性、思維的靈活性、思維的敏捷性.“數學是思維的體操”，數和形的種種內在聯系和相互關系，特別是它們的本質屬性和科學規律，僅僅依靠感覺、知覺或表象是難以認識的，只有通過有效思維才能達到深刻理解、牢固掌握和有效應用.所以，數學教學本質上是數學思維的教學，促進學生的思維，提高其思維品質是數學教學始終應追求的目標.

數學解題過程是一個自覺、積極、富有創造性的動態思維過程，選擇不同的思維起點，沿著不同的方向尋求解題方法，最終產生多種可能答案的思維方式就是發散性思維，它是創造性思維的主要形式.在解題過程中，適當地、有意識地嘗試一題多解，通過一題多解，引導學生從不同角度、不同側面，用不同的觀點分析、思考同一個數學問題，可以有效促進思維的廣闊性、變通性和靈活性，從而提高學生們的探索能力和創新能力.

二、兩個教學實例

例1 一道課堂例題（人教A版選修4-1第21頁第7題）：

如圖所示，已知△ABC中，AB=AC，延長BC到D，使得CD=BC.過C作CE⊥BC，交AD于E.連接AC，交BE于F.求證：AF=CF.

本題是教材上的一道習題，課堂上講解時我鼓勵學生積極思考，大膽探索，從不同的角度進行思考.學生的思維積極性很快被充分調動起來，紛紛主動發言，交流自己的見解和思路.學生探討出了近十種做法（其中有些做法有部分相同之處），尤其是一名學生說出證法六時，如此簡潔、直接的證明，獲得了全班熱烈的掌聲.下面給出一些解題思路.

生1認為可以通過構造平行四邊形，利用平行四邊形的對角線互相平分的性質進行證明.

證法一 過A作AH⊥BC于H，交BF于G，連接CG.

因為△ABC中，AB=AC，

所以CH=12BC.

因為CE∥AH，

所以CEAH=23，GHCE=12，所以AG=CE.

所以四邊形AGCE是平行四邊形，所以AF=CF.

生1是借助“一組對邊平行且相等”得出了平行四邊形的結論，生2提出還可以借助“兩組對邊分別平行”來說明“四邊形AGCE是平行四邊形”，得到了證法二：

證法二 輔助線同證法一.

顯然，AH是線段BC的中垂線，EC是線段BD的中垂線，

所以GB=GC，EB=ED，

所以∠GCB=∠EBD=∠EDB，所以GC∥AD.

又因為CE∥AH，所以四邊形AGCE是平行四邊形，

所以AF=CF.

生3認為還可以將AC放在其他的平行四邊形中，構造了證法三中的平行四邊形ABCM.

證法三 過點A作AM∥BC，交BE的延長線于M.延長CE，交AM于N.連接CM.

因為EC是線段BD的中垂線，

易證CN是線段AM的中垂線，

所以AC=CM.

可得△ABC≌△CAM（AAS）.

所以AM=BC，所以四邊形ABCM是平行四邊形，

所以AF=CF.

生4認為還可以構造平行線，利用平行線分線段對應成比例的性質進行轉化.

證法四 過C作CM∥AB，交AD于M.

所以CM=12AB，且∠BAF=∠ACM.

因為∠ABC-∠EBC=∠ACB-∠ADB，

所以∠ABF=∠CAM.

又因為AB=AC，

所以△ABF≌△CAM，所以CM=AF，

所以AF=12AB=12AC，所以AF=CF.

生5則認為除了作AB的平行線，作BE的平行線也能解決問題.

證法五 過C作CN∥BE，交AD于N.

所以△BDE中，CN是中位線，N是DE的中點.

又由證法一知，DEDA=23.

所以E是AN的中點.

所以在△ACN中，FE是中位線，

所以F是AC的中點，故AF=CF.

幾種方法做下來后，很多學生都已經陷入了思維定式：如何作輔助線？還可以作誰的平行線？此時生6提出了自己的證法.

證法六 因為∠ABD=∠FCB，∠FBC=∠ADB，

所以△BFC∽△DAB，所以FCAB=BCDB=12，

所以CF=12AB=12AC，所以AF=CF.

證法六無疑是最簡潔的，但卻需要很強的觀察理解能力，體現了思維的獨特性和創新性.

從這個問題來看，一題多解確實能鍛煉學生的思維.由于不同學生的思維過程和思維方法是不同的，創造性的靈感也各有不同，因此，讓學生暴露其思維過程，不僅有利于學生之間的交流，擴展思維的空間，展示他們的數學思維活動過程，從而培養他們的創造性思維，并且也有利于教師探明學生已經知道了什么和學生是以怎樣的方式思維的，與學生一道進入學生的思維空間.而通過這樣的碰撞，學生思維的廣闊性、靈活性等思維品質都可以得到加強和互補，可以更好地促進學生的思維發展.

例2 求圓（x-2）2+y2=16和圓（x+1）2+（y-4）2=1的內公切線方程.

本題的一般做法是：

解法一 若切線斜率不存在，則其方程為x=2，這是一條外公切線，不符題意，舍去.

若切線斜率存在，設公切線方程為y=kx+b.

則|2k-0+b|k2+1=4，|-k-4+b|k2+1=1， 解之得k=-724，b=194， 或k=34，b=72.

所以，所求公切線方程為7x+24y-114=0和3x-4y+14=0.

經檢驗，7x+24y-114=0是兩圓的外公切線，3x-4y+14=0才是兩圓的內公切線.故兩圓的內公切線方程為3x-4y+14=0.

此種解法符合求直線方程的一般解法，但解方程組的過程中計算要求很高，沒有一定的運算功底，甚至可能解不出來.

但如果考慮到本題的特殊情況：本題中，兩圓圓心的坐標分別為A（2，0），B（-1，4），圓心距為5，半徑分別為4，1，所以，兩圓的位置關系是外切.故其內公切線應該是垂直于直線AB且過切點（分AB的比為4的點）的直線.于是，得到解法二：

解法二 直線AB的斜率為kAB=4-0-1-2=-43，所以，兩圓的內公切線l的斜率為kl=34.

由定比分點公式可知，切點坐標滿足x=2+4·（-1）1+4=-25，y=0+4·41+4=165， 故切點為-25，165.

所以，所求的內公切線方程為y-165=34x+25，

即3x-4y+14=0.

解法三 利用圓系思想.

我們知道，如果兩圓x2+y2+D1x+E1y+F1=0 ①和x2+y2+D2x+E2y+F2=0 ②有交點，則過已知兩圓交點的圓的方程（不包括圓②）可設為

（x2+y2+D1x+E1y+F1）+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0.③

尤其，當λ=-1時，③式即為（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0.④

它表示的是兩圓的公共弦所在直線方程.

兩圓外切時，可以看成是兩圓相交的極限情況.所以，當兩圓外切時，④式表示的就是兩圓的內公切線方程.故本題的第三種解法就是：

直接將已知兩圓的方程相減，即可得3x-4y+14=0（最好檢驗一下）.

圓系的解題思想在解決條件中有“過兩圓交點的……”的問題時，在計算方面有較大的優勢，但是對學生的思維要求較高.

三、教學啟示

一題多解的目的，不是玩噱頭，也不是為了一題多解而一題多解，而是為了培養和提高學生的思維能力，發展學生的智力，提高學生提出問題、分析問題和解決問題的能力.一般來說，學生得到一個問題的解法越多，就會表明學生的思維越靈活，思路越開闊.學生越是利用所學知識，打破一般的框框去進行廣闊的思維，就越有利于促進其思維的發展，提高其創造能力.但并不是所有的習題都有必要“一題多解”，同時也不提倡學生用特別復雜的方法去解題，更不應當因為學生只能用一種方法解題去批評、責備學生，這樣就會挫傷學生思維的積極性.

一位數學特級教師曾說過：“數學，要求真、求簡.”所以，有了一題多解后，教師還應當引導學生進行比較、反思，看看是不是每種方法的思維過程都是嚴謹的，并嘗試找出最簡便的解法，這樣才符合數學嚴謹的特性和簡潔之美.

愛因斯坦說：“想象力比知識更重要.因為知識是有限的，而想象力概括著世界上的一切，推動著進步.”可見，想象力是創新的基礎.同時，猜想也是一種高級的創造性思維形式，利用它可以發現解題思路，利用它可以發現新原理、新公式.所以，我們應提倡讓學生多猜想，多從不同的角度提出問題，多從不同的角度尋求解決問題的辦法.教師要及時對學生的構想加以分析評價，幫助學生深入認識問題的本質，將學生引向更深的思維層次、更廣闊的思維空間.

【參考文獻】

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