解抽象函數的常用方法

廣陽

在函數部分的綜合題中常遇見一類抽象函數問題，這類問題由于條件中沒有給出具體的函數解析式，而只給出該函數所具備的某些性質，所以大家求解此類問題時往往感到很棘手，事實上，雖然抽象函數具有一定的抽象性，構思新穎，且性質隱而不露；其實，大量的抽象函數都是以中學階段所學的基本函數為背景的.在這里，有一個從具體到抽象，從抽象到具體的辯證關系.下面略舉數例加以說明.

一、以正比例函數為模型

例1 已知f（x）是定義在R上的函數，對任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x>0時，f（x）<0，f（1）=-2.當-3≤x≤3時，函數f（x）是否存在最大值？若存在，求之；不存在，說明理由.

分析 正比例函數f（x）=kx（k≠0）滿足f（x±y）=f（x）±f（y），根據題設，我們可以推知本題是由f（x）=-2x作為模型設計的問題，于是我們可以從判斷f（x）的奇偶性、單調性入手來求解.

小結：抽象函數都是以中學階段所學的基本函數為背景.解題時，若能根據題設中抽象函數的性質尋求抽象函數的特殊模型，靈活變通，便可尋找到解決問題的突破口，其解題策略通常是：（1）利用函數的定義來解題；（2）利用函數的性質來解題；（3）利用特殊化思想來解題；（4）利用數形結合思想來解題.因此，在做小題的過程中，我們可以直接使用特殊的函數模型來解題.