一道含參不等式恒成立問題求解探究

李志忠

【摘要】含參不等式恒成立問題是一類綜合性考題，它將函數(shù)、方程、不等式、導(dǎo)數(shù)這些知識(shí)點(diǎn)有效結(jié)合，使此類問題變化多端、具有極強(qiáng)的思辨性.鑒于上述特點(diǎn)，此類題型已經(jīng)成為高考的“必考題”，且往往作為大題的形式出現(xiàn).本文通過對一道含參不等式恒成立問題進(jìn)行深入探究，幫助學(xué)生規(guī)避求解誤區(qū)，實(shí)現(xiàn)有效解題.

【關(guān)鍵詞】含參不等式；恒成立；解題策略

學(xué)生受到長期解題套路灌輸?shù)挠绊懀玫胶瑓⒉坏仁胶愠闪栴}的第一想法就是求導(dǎo).命題者也是看到了學(xué)生們的思維誤區(qū)，在高考命題時(shí)偏向于設(shè)計(jì)超越函數(shù)，在多次求導(dǎo)后依然無法有效求解.對此，我將從一道高考題的變式入手，對其中的求導(dǎo)思路進(jìn)行分析，提出解決此類題型的有效策略.

對于本變式而言，解題關(guān)鍵在于函數(shù)g（x）=xlnx+px2-p的處理上.學(xué)生1、2的求解過程，他們采用的是常規(guī)含參不等式恒成立問題的求解策略，即采用求導(dǎo)的方式.從解題技巧上，這樣的處理并不存在問題.但是在求導(dǎo)分析后，一次次地出現(xiàn)了超越函數(shù).此時(shí)，學(xué)生們就應(yīng)該揣摩出題者的意圖，可能這里并不是考查學(xué)生對求導(dǎo)技巧的使用.就如有效求解策略所示，本題采用的是分類討論的方法.

總之，含參不等式恒成立問題是一類重要的考點(diǎn)，且極具難度和挑戰(zhàn)性.值得注意的是，當(dāng)常規(guī)求導(dǎo)難以使用時(shí)，不妨嘗試返璞歸真，利用最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)分析手段，結(jié)合分類討論、常規(guī)分析的思路，對解題過程進(jìn)行重新的審視.