基于數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

張瀟譯

【摘要】作為數(shù)學(xué)解題中常見的一種方式，數(shù)形結(jié)合方法的使用使得解題過程更加簡(jiǎn)單、直觀.本文以數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用為研究?jī)?nèi)容，通過實(shí)際案例分析，對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用進(jìn)行講解，以指導(dǎo)高中生對(duì)這一解題思想的靈活應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；高中；數(shù)學(xué)；解題

在數(shù)學(xué)解題過程中，利用幾何知識(shí)與代數(shù)知識(shí)的轉(zhuǎn)換，能夠有效降低題目難度，使解題步驟更加清晰，提高了解題的準(zhǔn)確率.

一、數(shù)形結(jié)合思想概述

數(shù)形結(jié)合思想中的“數(shù)”意味著數(shù)字、代數(shù)，而“形”這代表著幾何圖形，數(shù)形結(jié)合思想就是將這兩種簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行融合，使用幾何圖形關(guān)系來表述代數(shù)關(guān)系，而代數(shù)關(guān)系也可以通過幾何圖形進(jìn)行直觀的展現(xiàn).因此，在數(shù)學(xué)解題過程中，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用主要有兩種形式：代數(shù)知識(shí)輔助解答幾何題目，或者是幾何知識(shí)輔助解答代數(shù)題目.

二、數(shù)形結(jié)合中的轉(zhuǎn)換措施

根據(jù)數(shù)形結(jié)合的實(shí)際使用效果來看，“數(shù)”與“形”之間的轉(zhuǎn)換的形式多種多樣，具體包括“形”向“數(shù)”的轉(zhuǎn)換、“數(shù)”向“形”的轉(zhuǎn)換，以及“數(shù)”和“形”之間的相互轉(zhuǎn)換.

在“形”向“數(shù)”的轉(zhuǎn)換過程中，是根據(jù)當(dāng)前題目中所給出圖形的已知信息，經(jīng)過分析，找出在幾何圖形中所隱藏的代數(shù)關(guān)系，并用數(shù)字進(jìn)行表達(dá)，對(duì)幾何圖形類題目的解答提供幫助.

“數(shù)”向“形”轉(zhuǎn)換的實(shí)際使用有著一定的限制，多以題目中的問題進(jìn)行假設(shè)，并將假設(shè)以幾何圖形的方式進(jìn)行展現(xiàn)，從而有助于更好地說明假設(shè)中所表現(xiàn)出來的數(shù)量關(guān)系.

“數(shù)”與“形”之間的相互轉(zhuǎn)換，在實(shí)際解題過程中的應(yīng)用較為廣泛，其主要利用了數(shù)學(xué)知識(shí)中“數(shù)”“形”相互對(duì)立的思想，在幾何圖形與代數(shù)關(guān)系之間尋求轉(zhuǎn)換的平衡性，以利于對(duì)題目的分析和解答.

由此可見，數(shù)形結(jié)合思想的使用，需要根據(jù)實(shí)際題目的需要選擇合適的“數(shù)”“形”轉(zhuǎn)換措施，單一的數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)換措施并不能解決所有問題.

三、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的實(shí)際應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)解題過程中，數(shù)形結(jié)合思想的使用不僅提高了數(shù)學(xué)解題的速度和準(zhǔn)確度，也在一定程度上培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提高了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

（一）集合類型題目中的數(shù)形結(jié)合思想

在高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)中，集合知識(shí)屬于考試的重點(diǎn)內(nèi)容，并作為數(shù)學(xué)知識(shí)延伸的重要鋪墊，在教學(xué)內(nèi)容中屬于較為重要的部分.其中，集合知識(shí)中的交際、補(bǔ)集、并集等知識(shí)的介紹，就用到了幾何圖形輔助描述，因此，在高中集合類型題目的解題過程中，使用數(shù)形結(jié)合的思想也就不足為奇.

例1 存在兩個(gè)集合M，N，集合M={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}，N=M={（x，y）|x2-y=0，x∈R，y∈R}，求M∩N中元素的數(shù)量.

解析 如果采用直接求解法，將題目中的兩個(gè)方程x2+y2=1，x2-y=0組成方程組，求得對(duì)應(yīng)未知量x，y的取值范圍，盡管，這種解題方法可以得到最終答案，但是，對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差的學(xué)生來說，解題過程過于煩瑣，不僅浪費(fèi)了大量時(shí)間，出現(xiàn)錯(cuò)誤的可能性也大大增加.在該題目中，以數(shù)字形式表述的集合關(guān)系過于抽象，即便通過計(jì)算求得了相關(guān)未知量的取值范圍，也需要利用幾何知識(shí)進(jìn)行直觀的展現(xiàn).其中x2+y2=1是半徑為1的圓的通用表達(dá)式，而x2-y=0則是常見的拋物線，因此，求解兩個(gè)集合的交集，也就變?yōu)榍髢蓚€(gè)圖形的交點(diǎn)，解題難度大大降低，思路也更加清晰.

（二）函數(shù)類型題目中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

函數(shù)的學(xué)習(xí)幾乎貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個(gè)過程，是數(shù)學(xué)知識(shí)體系中較為基礎(chǔ)的內(nèi)容，在高中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)已經(jīng)不再是簡(jiǎn)單的函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)，更重要的是學(xué)會(huì)利用函數(shù)關(guān)系解決實(shí)際問題.對(duì)于這一理論性與抽象性同時(shí)存在的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，在相關(guān)題目中，該類型題目不僅包含多種函數(shù)關(guān)系，還可以借助幾何圖形進(jìn)行輔助理解，極大地降低了函數(shù)類型題目的難度，提高了解題效率.

例2 求解方程sin2x=sinx在區(qū)間x∈（0，2π）中的解的個(gè)數(shù).

解析 該題目看似簡(jiǎn)單，但是其中涉及的知識(shí)內(nèi)容則較為豐富，如果直接進(jìn)行解題，則需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)變形，利用sin2x=2sinxcosx=sinx的變化關(guān)系，且在區(qū)間x∈（0，2π）上，sinx≠0，所以，cosx=12，這樣也可以找到3個(gè)答案與之對(duì)應(yīng).但是，對(duì)于函數(shù)變形掌握程度較差的學(xué)生來說，則可以使用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行解答，通過建立坐標(biāo)系的方式，將兩個(gè)三角函數(shù)在利用平面幾何圖形進(jìn)行展現(xiàn)，在保證幾何圖形繪制過程中相關(guān)參數(shù)正確的同時(shí)，就可以直觀地發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圖形的交點(diǎn)數(shù)量，問題也就得到解答.

基于數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中所體現(xiàn)出來的簡(jiǎn)便性、高效性等特點(diǎn)，在實(shí)際解題過程中，也常常被用來檢驗(yàn)答案是否正確.因此，掌握數(shù)形結(jié)合思想，對(duì)于提高數(shù)學(xué)解題效率有著極為重要的作用.

四、總 結(jié)

在高中數(shù)學(xué)解題方法中，數(shù)形結(jié)合思想有著較為廣泛的應(yīng)用，基于數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)對(duì)措施的不同，在使用這一方法進(jìn)行解題時(shí)，應(yīng)明確“數(shù)”“形”之間轉(zhuǎn)換關(guān)系，選擇與之相適應(yīng)的解題方法.盡管，數(shù)形結(jié)合思想能夠幫助高中生提高數(shù)學(xué)解題效率，卻不能忽視數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)所起到的重要作用，牢固掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，建立完善的“數(shù)”“形”知識(shí)體系，能夠促進(jìn)高中生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的有效應(yīng)用.

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