中學數學教學中對解題方法和解題策略的探索與研究

趙建慧 董暉

美國著名數學教育家波利亞說過，掌握數學就意味著要善于解題.而當我們解題時遇到一個新問題，總想用熟悉的題型去“套”，這只是滿足于解出來.只有對數學思想、數學方法理解透徹及融會貫通時，才能提出新觀點、新看法、巧解法.也就是說只有內化的東西才能充分外顯，只有將知識轉化為自己的東西，才能靈活應用，所以要注重學生的自主探索，平時的歸納總結是很重要的.

目前的高考試題十分重視對于數學思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過程都蘊含著重要的數學思想方法.我們要有意識地應用數學思想方法去分析問題、解決問題，形成能力，提高數學素質，使自己具有數學頭腦和眼光.

目前的高考試題主要從以下幾個方面對數學思想方法進行考查：

常用數學方法：配方法、換元法、待定系數法、數學歸納法、參數法、消元法；

數學邏輯方法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法等；

數學思維方法：觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、類比、歸納和演繹等；

常用數學思想：函數與方程思想，數形結合思想、分類討論思想、轉化（化歸）思想等.

但解數學題若囿于一種思維方式，按常規方式分析思考，有時解起來很麻煩，甚至有解不出來的現象.此時不妨從多方面觀察思考，全方位審視題意和多角度探討解法，則有益于解題捷徑的獲得，解題決策的優化.

數學解題的思維過程都是從理解問題開始，然后經過探索思路，轉換問題直到解決問題，進行回顧全過程的思維活動.為了使回想、聯想、猜想方向更明確，思路更活潑，進一步提高探索成效，我們必須掌握一些數學解題的方法和策略.一切解題的策略的基本出發點在于“變換”，就是把面臨的數學問題，轉化為一道或幾道易于解答的新題，通過對新題的考查，發現原題的解題思路，最終達到解決原題的目的.通過這樣的認識，常用解題策略主要有：熟悉化、簡單化、直觀化、特殊化、一般化、整體化、間接化等.解決數學問題的過程雖然各有千秋，但都離不開：（1）審題；（2）尋求解題策略；（3）書寫解答過程.這三步中尋求“解題策略”是能否解出這道題的關鍵.

在教學中適當選定一些例題，誘導學生給出多種解法，一題多解，常常能收到拓寬思路，融會貫通的效果.這樣既有助于培養學生思維的靈活性和廣闊性，又有助于培養學生分析問題及靈活運用各種知識解決問題的能力.教材中一道不等式的典型例題，它可用最基本、最常用的證明不等式的方法——比較法、綜合法、分析法來證明，也可用前后所學的知識——向量、三角、柯西不等式來證明，筆者給出六種證明方法，通過一題多解，讓學生掌握證明不等式常用的方法，巧用代換，貫穿前后知識，解一題帶一片，鍛煉學生思維的靈活性和廣闊性，也是我們更加明確，精煉的教材蘊藏著無限豐富的數學知識和證明方法，有利于學生去領悟、吸收和探索.因此，挖掘教材，深化例題，發揮它的典型性是教學的關鍵.我們在解數學題時，習慣將參數方程化為普通方程，而有些題采用逆向轉化，即普通方程化為參數方程，將未知的問題化歸為已知的或易解的問題，效果更佳；我們用代數法求最值，是常規的解題思路，但有些題，若能充分利用題目中給出的信息，巧妙地構造簡單的幾何圖形，就可使問題直觀形象，解法獨特；我們在解決數學中的求值問題，往往從正面入手思考，一般常能解決，但有些題感到此法麻煩，此時對所求結果進行分析，不妨將直角坐標系轉化為極坐標系，可使問題迎刃而解.在解決數學問題時，要具體問題具體對待，尋求最捷徑的解法，特別是逆向思維的轉化，可培養學生的靈活性和條理性，更有利于培養學生的發散思維，拓寬學生的知識面，增強學生的綜合能力.有些數學習題，所給的并不是函數，如果按常規來做，有一定的難度，而且過程復雜，這時分析所給題的特點，若能換個角度，構造一個函數，可能會起到事半功倍之功效，不僅能使學生感受到數學的美妙以及構造法的神奇，而且更能激發起學生探索的意識和創新欲望，突破思維的常規，使思路更簡捷、明快.

在課堂中我們正確處理好講與練、質與量、易與難、分與總的關系，提高數學運算能力，通過“一題多解，一題多變”，使學生拓寬思路、掌握解題技巧、提高解題能力，把所學知識能夠融會貫通.當學生有新想法、新創意時及時進行鼓勵，讓學生在“練”中獲得知識，在“練”中感悟運用解決問題的機能和技巧，在“練”中養成獨立思考，主動發現問題，在“練”中培養學生分析問題和解決問題的能力，在“練”中挖掘創新思維能力，達到加強和鞏固創新意識的目的.

我們知道一般性總是蘊含于特殊之中，以特殊的情況作為研究的起點，有助于掌握一般情況下的性質和規律，因此，在研究比較復雜的問題時，教師可以引導學生先研究問題的一些特殊情況，再進行聯想類比，歸納得出它們的共性，有時還能將平面問題類比升維為空間問題，起到事半功倍之功效.許多數學家、哲學家都講過類似的話——最簡單的才是最深刻，與此有異曲同工之妙.著名數學家華羅庚教授有一名言：“數學是一個原則，無數內容；一個方法，到處有用”對數學的理解才能真正達到本質化.

教師要認真鉆研教材，把握教材的思想性和科學性，要通讀數學教學大綱，吃透教材，明確讓學生了解什么，理解掌握什么，教學思路要清晰，課堂教學才有效率，學生學習才有效果.教師教學的形式和方法要多樣化，采用“精講—精練—引思—答疑—點撥”的教學方式，充分發揮學生學習數學的主觀能動性，鼓勵學生多思多問多參與，充分體現現代教學論“以學生為主體，以教師為主導，以訓練為主線”的教學原則.讓學生在知識的掌握中探索、把握規律，啟迪學生思維，挖掘學生潛能.要指導學生在觀察、分析、對比、聯想、判斷、歸納、總結、綜合運用上下功夫，最終達到思維創新的目的.

通過數形結合法解決空間立體幾何中線線所成的角、線面所成的角、面面所成的角的求角度問題，通過例題講解得出規律：空間各種角的計算方法都是轉化為平面角或兩向量的夾角來計算；平行和垂直可以看作是空間角的特殊情況.向量方法具有很大的優越性，但是它并不是萬能的，只有那些適于建立空間直角坐標系的題目才更加適合.有關遞推數列的數學問題，從遞推數列的解題過程中，充分體現了數學的轉化思想.例題的觀察法、遞推法、構造法、累加法、累乘法、待定系數法、取倒數法、取對數法等都是把復雜問題轉化為容易問題，把陌生問題轉化為熟悉問題解決，使學生又多了一種解題策略.引導學生活學活用、主動去探索問題，發現問題，思考問題，解決問題，提高解題效率.

我們看出高考試題來源于教材，高于教材，入口淺，寓意深，思維散，思路寬.從2008年高考數學四川卷第16題題目來看，這是一道數列中運用通項公式和求和公式的極其普通的小題，但在解決問題時要運用線性規劃的知識或者運用不等式的知識來解決，沒有刻意追求新、奇、異，感覺比較熟悉，題目敘述通俗易懂，的確平淡無奇，一道貌似普通的題目，既考查了數列的通項公式和求和公式，又考查了線性規劃的知識或不等式的知識，知識點“跨度”不算太小，感覺既在情理之中，又在預料之外，本小題以數列知識為載體，以線性規劃的知識為工具，以數形結合的思想為策略，達到解決問題的目的.或者以不等式的知識為工具，以變形轉換為手段，達到解決問題的目的.在解題的過程中，完美地體現了數形結合的思想，等價變形和轉換思想，讓人體會到一道難得的好題總是以平凡形態呈現出來，但卻內蘊厚重，縱橫聯系，從多種角度深思切入解決，應用不同的數學知識，呈現出不同的精彩，給人以美的享受.

總之，巧用恰當的解題的方法是解題的手段，解題的通法是解題的基本功，解題的逆向法是解題的嘗試，解題的數形結合法是解題的又一次嘗試.數學思想是數學的靈魂，它與數學基本方法常常在學習、掌握數學知識的同時獲得.可以說，“知識”是基礎，“方法”是手段，“思想”是深化，“基本練習”是過程，達到掌握并鞏固是目的.我們平時的教學面向的是全體學生，平時的教學以問題解決為中心，注重知識的建構過程與方法，重視學生思想與情感的設計理念，積極地探索和實踐新課程理念，改革教師的教學模式，改變學生的學習方法，通過這樣的探索歸納過程，相信學生能從中有所體會，對后續內容的學習和學生的可持續發展會有一定的幫助.以后留在學生記憶中的不是知識本身，而是方法與思想，是學生學習的習慣和熱情，這正是我們教育工作者所追求的結果.