中、加、美數學教材例題的綜合難度之比較研究

曹陽

【摘要】本文以中國人教版，加拿大BC省版，美國加州版的中學數學教材為研究對象，運用華東師范大學鮑建生教授構建的五因素多水平的綜合難度模型，對其“不等式”專題中例題的綜合難度進行比較.研究結論為：中國教材除知識綜合水平因素外，其余四個因素均大于其他兩國；難度系數相差最大的因素為數學認知因素；加、美兩國例題更強調生活背景等.

【關鍵詞】不等式；綜合難度；比較研究

一、問題提出

不等式是數學在生活上運用的很好例證，如基本不等式可以用于估計最值等.不等式專題也是中學數學的重要專題.一方面，它與其他各章節知識點之間聯系非常密切，前者的學習對于后者的學習有著積極的促進作用.另一方面，不等式專題對于學生高等教育階段的數學學習甚至數學研究等都起著至關重要的作用.基于這樣的重要性，教材中如何處理不等式專題的內容成為我們關注的焦點.本文將從綜合難度的角度出發，選取中國、加拿大、美國（以下分別簡稱中、加、美）教材中的例題為切入點，對中、加、美數學教材例題的綜合難度進行比較研究，以期有所啟示.

二、研究對象

（一）教材選取

中國教材：本論文選取現行的人民教育出版社的《義務教育教科書·數學（七年級下冊）》（以下簡稱七年級下冊），《普通高中課程標準實驗教科書·數學必修5（A版）》（以下簡稱必修5）作為研究教材.兩本教材則統稱中國教材.

加拿大教材：本論文選取的是英屬哥倫比亞省所使用的中學數學教材《MATHPOWERTM 9 Western Edition》（以下簡稱第9冊）與《MATHPOWERTM 11 Western Edition》（以下簡稱第11冊）作為研究教材.兩本教材在下文中統稱加拿大教材.

美國教材：選取的是McGraw-Hill公司按照加州公立學校數學課程框架出版的系列教科書《概念，技能與問題解決》作為研究教材.該系列教材在下文中統稱美國教材.

（二）例題的選擇

本論文的例題研究對象指的是教材正文中出現詳細解答以及分析過程的例題.中國教材不等式內容例題研究對象指的是在不等式內容正文中，標有“例”或者“例題”的題目.加拿大教材與美國教材不等式內容例題研究對象指的是在不等式內容中，標有“Example（例題）”或“Real-world Example（現實生活的例子）”的題目.

三、模型簡介

比較三個國家教材的例題綜合難度模型選擇的是華東師范大學數學系鮑建生教授構建的五因素多水平的模型.其難度水平表如下：

四、比較結果

（一）例題數量與題型統計結果

在三個國家教材的“不等式”內容中，中國教材有21道例題，加拿大教材12道，美國教材例題數最多，共有86道.

題型統計結果為，中國教材計算題5道，解答題15道，證明題1道，計算題題型例題占例題總數的23.8%，解答題占71.4%，證明題占4.8%.加拿大教材計算題7道，解答題5道；美國教材計算題48道，解答題38道，加拿大教材與美國教材均沒有證明題題型的例題.其中，加拿大計算題題型的例題占58.3%，解答題占41.7%；美國教材計算題題型占56%，解答題占44%.

（二）中加美教材例題綜合難度因素比較結果

1.中加美教材不等式內容例題背景因素統計結果

經統計得，中國教材無背景因素例題與公共生活背景因素均有9道，個人生活背景因素2道，科學情境因素1道；加拿大教材無背景因素例題9道，個人生活背景因素2道，科學情境因素1道；美國教材無背景因素例題58道，個人生活背景因素8道，公共生活因素11道，科學情境因素9道.通過難度計算公式，經計算得，中國教材不等式內容例題在背景因素方面的難度值為2.10，加拿大教材為1.42，美國教材為1.66.

由圖1可知，3個國家均是無背景例題所占比例最高，加拿大教材更是達到75%，這與我們的比較內容是不等式有一定的關系，不等式內容中多數是計算題，例題展示最多的是解不等式.四個因素中差別最大的是公共常識背景因素，中國教材所占比例最高，中國教材中公共常識背景的例題主要是生產利潤（必修五79頁例4）、生產化肥最優化（必修五87頁例四）等.科學情境背景的例題則是美國教材所占比例最高，美國教材在科學情境背景中涉及了多種學科，例如，美國教材第一冊44頁的例題涉及社會學，美國教材第五冊297頁的例題涉及的體育學.

2.中加美教材不等式內容例題數學認知因素統計結果

數學認知因素分為計算，概念，領會以及分析四類，統計得中國教材的例題中計算因素1道，概念因素3道，領會因素11道，分析因素6道；加拿大教材中概念因素5道，領會因素4道，分析因素3道，無計算因素例題；美國教材的例題中，計算因素7道，概念因素46道，領會因素29道，分析因素4道.中國教材在數學認識因素方面的難度值為3.05，加拿大教材為2.83，美國教材的難度值則為2.35.

從整體上看，中國教材是領會水平的例題占主要部分，其次是分析水平，計算水平和概念水平較少，這從側面反映了中國教材更重視學生領會能力的培養.加拿大教材與美國教材的走向則較為類似，均是概念水平的例題占主要部分，其次是領會水平，兩國領會水平的例題所占比例均在33%左右，可以看出兩國在不等式內容方面更加側重于計算以及概念模仿與識記這層次.從認知因素這方面而言，中國教材和加美兩國教材還是存在較大的差異性.

3.中加美教材不等式內容例題運算因素統計

經統計，中國教材與加拿大教材沒有無運算類型的例題，美國教材有12道；數值運算類型例題，中國教材3道，加拿大教材3道，美國教材30道；簡單符號運算類型例題，中國教材12道，加拿大教材9道，美國教材43道；加拿大教材沒有復雜符號運算類型例題，而中國教材有4道，美國教材有1道.中國教材例題在運算因素方面的難度值為2.95，加拿大教材為2.75，美國教材為2.38.

圖3反映三國關于運算因素均以簡單符號運算為主，不等式內容多數涉及運算，作為例題，每題所展示的運算方法以及步驟不宜過多.所以，三個國家在“簡單符號運算”這個水平的比例大于或等于50%，其次是數值運算.盡管如此，相比之下，中國教材在復雜符號運算方面所占比例也達到了19%，這也從側面體現了中國教材對學生的運算能力具有較高要求.

4.中加美教材不等式內容例題推理因素統計

經統計，中國教材例題中，無推理有1道，簡單推理12道，復雜推理8道；加拿大教材沒有無推理例題，簡單推理有9道，復雜推理3道；美國教材中，無推理有6道，簡單推理74道，復雜推理6道.中國教材不等式內容例題在推理因素方面的難度值為2.33，加拿大教材為2.25，美國教材則為2.

從圖4得到，三國教材均以推理的題目居多，均占了例題的92%以上，而當中簡單推理的例題最多，甚至美國教材達到了86%的比例.而中國教材在簡單推理的例題上是三個國家中所占比例最低，但是在復雜推理的例題上達到了38.1%，在三個國家教材中最高.

5.中加美教材不等式內容例題知識綜合水平因素統計

知識綜合水平因素分為1個知識點，2個知識點，3個知識點及以上這三種.中國教材例題中，含1個知識點的例題與含有3個知識點及以上的例題均有3道，2個知識點的15道；加拿大教材含有1個知識點的例題與含有3個知識點及以上的均有2道，2個知識點的8道；

美國教材含有1個知識點的例題有17道，2個知識點的41道，3個知識點及以上的共28道.經計算，中國教材與加拿大教材在不等式內容的例題知識綜合水平因素方面的難度值均為2，美國教材為2.13.

從圖5得到中國教材與加拿大教材例題的知識綜合水平所占比例均非常接近，均已含有2個知識點的例題為主，故兩國教材不等式內容的例題在該因素中的難度相等.而美國教材則是主要集中在2個知識點和3個知識點及以上.

通過利用綜合難度模型對中加美三國“不等式”內容例題五個難度因素的難度值進行計算，得到下面的雷達圖，進行更直觀的比較.

在知識綜合因素水平方面，三個國家的教材沒有明顯差距；除此之外，其余四個難度因素均是中國教材的難度最大.其中難度系數相差最大的是數學認知因素，中國教材與美國教材在這方面的相差1.05.加拿大教材除了背景因素與中國教材存在一定差距之外，其余四個難度因素的難度系數均緊跟其后.另外，圖中的五邊形都有偏右的趨勢，運算因素水平在五個難度因素中較為突出，與我們比較的內容是不等式有關.

五、小 結

本文主要從對中加美三國中學數學教材中“不等式”內容例題的綜合難度進行了比較，這并不是給各個教材的“優劣”進行排名，而是從各教材中的例題出發，對其不同難度因素的水平和特征進行分析，以有所啟示.可以看出，加、美兩國在數學例題中加入了較多的背景因素，這與荷蘭數學家弗雷登塔爾所提倡的“數學化”思想不謀而合，這或許可以作為我們的借鑒.

【參考文獻】

[1]鮑建生.中英兩國初中數學期望課程綜合難度的比較[J].全球教育展望，2002（9）：48-52.

[2]弗賴登塔爾.作為教育任務的數學[M].上海：上海教育出版社，1995.