導數題中的一類證明題

程立清　侯長慧

摘要：函數與導數部分對學生能力考察的載體：恒成立問題（或證明不等式或函數的零點）；函數與導數試題是歷年高考的壓軸題，是增加考生之間數學成績區分度的重要載體，函數與導數試題中往往是條件在給定一個函數的基礎上在問題的第二問通過等式或不等式來研究新的函數性質，在研究函數性質的基礎上把握函數的結構特征能夠取到簡化解題過程得到結果的目的。把握函數的結構特征體現了對函數解析式的研究，體現了化簡變形過程中從整體到局部的研究，體現了化簡變形的方向性，體現了從解析式到函數性質的研究與把握.構造好函數、特殊自變量對應的函數值等都是對函數結構特征的本質研究.

關鍵詞：導數；一類；證明題

在高考壓軸題21題的整理過程中，有一類證明題結論中與x1，x2有關，現將它們總結如下：

一、 能放入同一單調區間內的變量

2016新課標Ⅰ.21

已知f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點。

（1） 求a的范圍；

（2） 設x1，x2是f（x）的兩個零點，證明：x1+x2<2。

分析（2），由（1）知x1<1，x2>1，∴2-x2<1。

要證x1+x2<2，即證x1<2-x2，也就是f（x1）>f（2-x2）。

而f（x1）=0，即證f（2-x2）<0。

f（2-x2）=-x2e2-x2-（x2-2）ex2。而f（x2）=0用x2表示出a。

在此方法中，通過變形將x1及2-x2放入同一單調區間內。

練1：已知f（x）=ax2+bx-c-lnx（x>0）在x=1處取得極值，若a>0且f（x）有兩個不等零點x1，x2，

證明：x1+x2>2。

二、 構造函數法

1. 已知g（x）=ex-ax2-ax恰有兩個不同極值點x1，x2（x1>x2）。

求證：x1+x22

分析：g′（x）=ex-2ax-a，

g′（x1）=0g′（x2）=0，∴2a=ex1-ex2x1-x2，

要證x1+x22

同除以ex2，即ex1-x22

令x1-x2=t>0，即證et2

2. 已知g（x）=x-1-lnx-k（x-1）有兩個零點x1，x2（x1>x2），求證：g′x1+x22>0。

分析：g（x1）=0g（x2）=0，k=x1-x2-lnx1x2x1-x2，

g′x1+x22=1-2x1+x2-k=1x1-x2-2x1x2-1x1x2+1+lnx1x2，

令x1x2=t>1，令f（t）=-2（t-1）t+1+lnt，即證f（t）>0。

函數與導數試題核心是對函數性質的研究，但前提是提供一個什么樣的函數，在解題過程中如何構造一個好函數進行研究，構造好函數的基本要求：（1）分式函數向整式函數轉化；（2）常用對數函數系數為x或1的轉化；（3）解決恒成立問題分離參數法中構造不含參數的函數。一般地，當函數類型與指數函數有關時，構造以x1-x2為元的函數，當函數類型與對數函數有關時，構造以x1x2為元的函數。

練2：已知f（x）=ex，x∈R。

（1） 證明：y=f（x）與y=12x2+x+1有唯一公共點；

（2） 設a

練3：已知f（x）=lnxx圖像為曲線C，g（x）=12ax+b圖像為直線l。

（1） 當a=2，b=-3時，求F（x）=f（x）-g（x）的最大值；

（2） 設l與C交點橫坐標為x1，x2，且x1≠x2，求證：（x1+x2）·g（x1+x2）>2。

三、 數形結合法

已知f（x）=（x2-x）ex。

（1） 求曲線y=f（x）在原點處的切線方程；

（2） 若f（x）-ax+e≥0恒成立，求a的范圍；

（3） 若f（x）=m（m∈R）有兩個正實根x1，x2，求證：x1-x2

分析：（1）y=-x；

（2） 0≤a≤e；

（3） 這道題用法一、法二都很難完成，所以要想到數形結合。結合（1）（2），當x>0時，f（x）>-x，且f（x）≥ex-e，所以x1，x2位于f（x）與直線y=-x，y=ex-e與y=m交點的兩側，所以x1-x2

練4：f（x）=lnx-x2+ax（a∈R，x∈（0，e]）。

當a≥1時，x1，x2∈（0，1），（x1

α=mx1+（1-m）x2，β=（1-m）x1+mx2，且α>0，β>0，

若f（α）-f（β）

對于導數大題的處理，是對學生能力的考查，平時備考的過程中盡量一題多解，從函數法、分離法、數形結合法等不同角度剖析題目，讓學生加深對內容和解題方法的理解。函數與導數中學科思想匯總：1. 定義域思想；2. 分類討論思想；3. 特殊自變量對應的函數值或導函數值思想；4. 構造一個好函數的思想；5. 把握函數結構特征的思想；6. 洛必達法則思想。

作者簡介：程立清，中學特級教師，山西省臨汾市，山西省臨汾市翼城中學；

侯長慧，中學一級教師，山西省臨汾市，山西省臨汾市翼城中學。