抓住本質看問題

摘要：本文主要探究軸對稱圖形中的一個應用模型。即：已知直線l外兩定點A，B和直線l上一動點P，求|PA±PB|的最值問題。

關鍵詞：軸對稱圖形；垂直平分線；兩定點和定直線上一動點的距離和；最值

軸對稱圖形的微觀體現是關于軸對稱的兩點的垂直平分線是對稱軸，由此開啟了軸對稱與垂直平分線的緊密聯系。在初中垂直平分線的性質（線段垂直平分線上任一點到兩端點的距離相等）的應用中，一個突出的應用模型就是已知直線l外兩定點A，B和直線l上一動點P，求|PA±PB|的最值問題。所以這個應用模型完全可以移植到軸對稱圖形中來使用。而初中數學中常見的軸對稱圖形有等腰三角形、等邊三角形、矩形、菱形、正方形、圓、拋物線等。下面舉例說明：

例題1已知等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=10，D為斜邊AB的中點，連接CD，P為CD上一個動點，E為BC的中點，連接PB，PE，求當P在何處時PB+PE的值最小。

分析：因為等腰三角形三線合一，可知CD為AB的中垂線。由中垂線性質得PB=PA，從而將PB+PE化為了PA+PE，而PA+PE≥AE，從而得解。

解：連接AP，AE。∵AC=BC=10，D為AB的中點，∴CD垂直平分AB，∴AP=PB，∴PB+PE=PA+PE≥AE（當P為CD和AE交點時等號成立）。又∵E為BC中點，∴CE=12BC=5。∵∠C=90°，∴AE=AC2+CE2=55，∴當P為CD和AE交點時，PB+PE有最小值55。

點評：本題還可以有其他變式，將等腰Rt△換成等邊△，或者換一個擺放位置，高中的話角C不用90°等。

例題2已知菱形ABCD中，邊長為4，∠BCD=60°，E為CD中點，連接AC，P為AC上一動點，求當P在何處時，PD+PE的值最小。

分析：菱形是軸對稱圖形，對角線是其對稱軸，所以PD=PB，從而PD+PE=BP+PE≥BE，從而求解。

解：連接BP，BE，BD。∵菱形ABCD的邊長為4，∴BC=CD=4，AC為BD的中垂線，∴BP=PD，∴PD+PE=BP+PE≥BE（當P為AC和BE交點時，等號成立）。∵∠BCD=60°，∴△BCD為等邊三角形。∵E為CD中點，∴∠BEC=90°，CE=12CD=2，∴BE=BC2-CE2=23，∴當P為AC和BE交點時，PD+PE的最小值為23。

點評：本題菱形還可以換為矩形和正方形。如果是矩形，其對稱軸為中點連線，正方形的對稱軸為對角線和中點連線，在實際考查中，對角線的考查更隱蔽，所以考得最多。

例題3如圖，已知⊙O的半徑為5，A，B為圓上兩點，P為直徑OD上一動點，∠AOB=∠BOD=30°，求PA+PB的最小值。

分析：因為圓是軸對稱圖形，其對稱軸為直徑，所以可以在圓上作出B關于OD對稱的點C，從而可得PB=PC，則PA+PB=PA+PC≥AC，從而求解。

解：∵⊙O是軸對稱圖形，∴作點B關于直徑OD對稱的點C，連接OC，CP，∴BC的中垂線為OD，∴PC=PB，CD=BD，∴PA+PB=PA+PC≥AC（當P為OD和AC交點時，等號成立）；∵⊙O中，弦CD=BD，∴∠COD=∠BOD。∵∠AOB=∠BOD=30°，∴∠AOC=∠COD+∠AOB+∠BOD=90°，∴AC=OA2+OC2=52，∴當P為OD和AC的交點時，PA+PB的最小值為52。

點評：因為圓的對稱軸是直徑，所以對稱軸眾多。本題中直徑位置給得很特殊，是水平的，它也可以是豎直，傾斜等一般樣式。

例題4如圖，在二次函數y=x2-4x+3的圖像上，有兩個點A（3，0），C（0，3），D為拋物線對稱軸上一動點，求：當D在對稱軸上何處時，|CD-AD|有最大值，且最大值為多少？

分析：因為拋物線的對稱軸為直線a，則在拋物線上作C關于對稱軸a對稱的點B，從而可得CD=BD，則|CD-AD|=|BD-AD|≤AB，從而求解。

解：作C關于對稱軸a對稱的點B，連接BD，AB，過B作BF⊥x軸于F。∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1，∴對稱軸a為x=2，∴CD=BD，∴|CD-AD|=|BD-AD|≤AB（當D為對稱軸a與直線AB的交點時，等號成立）。∵C（0，3），∴B（4，3）。∵A（3，0），BF⊥x軸，∴在Rt△ABF中，AF=1，BF=3，∴由勾股定理得AB=10。∴當D為對稱軸a與直線AB的交點時，|CD-AD|有最大值10。

點評：本題考查了兩段差的最大值問題，其思路和前面一樣。如果將B點坐標作為已知，C點坐標不要，結論為求BD+AD的最大值，則就和前面3個題一樣了。

由以上的例題我們可以看出，涉及直線l外兩定點A，B和直線l上一動點P，求|PA±PB|的最值問題時，無論它的“馬甲”是軸對稱圖形中的哪一個，其本質都是通過垂直平分線的性質來轉化線段的位置后，利用三角形的三邊關系求解得最值。

作者簡介：

李代輝，四川省德陽市，四川省德陽市旌陽區德陽中學校。