淺析三階行列式

摘要：行列式是線性代數課程中重要的基礎知識。文章針對高職院校工程數學中線性代數模塊的三階行列式展開分析討論，揭示三階行列式在行列式知識點的學習中的重要地位，突出三階行列式的基礎性和重要性。三階行列式是學習高階行列式的橋梁，是高階行列式的基礎和奠基石。

關鍵詞：行列式；代數課程；基礎知識

為求解工程技術運用領域和經濟活動中的線性方程組問題，必須學習行列式和矩陣基本知識。行列式是學習矩陣的基礎，也是研究矩陣最有效的工具之一。行列式和矩陣是為求解線性方程組的基礎準備知識也是必備知識。

行列式是解線性方程組的基礎必備知識，也是線性代數模塊中最基礎的知識。二階、三階行列式是用來解二元、三元線性方程組，方程組的解可以用系數和常數項表示出來，很直接方便。學習三階行列式是為高階行列式做準備的。利用高階行列式求解多元線性方程組，是我們學習行列式的最終目的。

高階行列式的求解，通常采用的方法是運用行列式的性質和代數余子式等知識將高階轉化為低一階或者低幾階的行列式來求解。三階行列式是高階行列式存在的基礎，是為更好地理解掌握高階行列式而存在的。

一、 三階行列式的特點

1. 定義

三階行列式是將32個數排列成3行3列，橫排稱為行，豎排稱為列，并在左右兩邊各加一豎線的算式，它表示由一個確定的運算關系所得到的一個數值。三階行列式是比較簡單的行列式，三階行列式是學好高階行列式的基礎，是求解高階行列式的敲門磚。

2. 計算方法

為加強記憶這六項的和也可用對角線法則來記憶：從左上角到右下角三個元素的乘積取正號，從右上角到左下角三個元素的乘積取負號。這種方法有個特點就是每一項的乘積元素都來自不同的行和列：同一行的兩個元素和同一列的兩個元素不可能同時出現在一個乘積項里。

計算三階行列式還可以用行列式中任意一行所有元素與其對應的代數余子式乘積之和求得，也可以選取行列式中一列所有元素與其對應的代數余子式乘積之和而得到。運用這種方法求解行列式的值時，要選取零元素最多的行或列，這樣含零的項多，計算的過程就最簡單最便捷。

計算三階行列式還可以利用行列式的性質，通過對行列式進行同等變形求得行列式的值。這種方法關鍵在于仔細觀察行列式的特征選取最適合的性質來進行變形，是最常用的方法，也是最普遍的計算行列式的方法。在以后要學習到的高階行列式的計算中，也經常采用行列式的性質變形這種方法來求行列式的值。

在計算行列式時，根據題目特征選取合適和最為快捷的方法，多做多練才能熟練掌握計算行列式的方法和技巧，才能選擇出最佳方法求解行列式的值。

二、 三階行列式的地位和作用

1. 三階行列式與二階行列式

二階行列式是最簡單的行列式，它的計算也很簡單，就等于主對角線上元素的乘積減去次對角線上元素的乘積。

三階行列式較二階行列式稍復雜一些，從表達式來看，雖然只比二階行列式多了5個元素，但其計算過程比二階行列式復雜很多，計算三階行列式的方法也較二階行列式多：六項代數和法、代數余子式和直接利用行列式的性質，或者結合行列式的性質再用代數余子式的方法。計算行列式的方法可以選取或者綜合運用，只要能最快最準地求出行列式值都是好方法。

2. 三階行列式與高階行列式

這里討論的高階行列式是四階及四階以上的行列式。計算高階行列式時，同樣可以用代數和法，只是過程復雜一些，不同的階數代數和中每一項的項數也不同。運用行列式的性質求高階行列式的值是求解高階行列式最常用的方法，一般求解思路是運用行列式的性質先把高階行列式化為上三角形行列式，再根據上三角形行列式的特點，主對角線上元素的乘積就是所求行列式的值。遇到高階行列式中零比較多的情況，則選用零元素比較多的一行或者一列，這一行或者列的元素與其對應的代數余子式乘積之和就是高階行列式的值。

三階行列式比其他高階行列式階數低，表達較為簡單，因此在學習行列式相關的性質和計算方法時通常是從三階行列式入手，從而推廣到更高階，這一過程遵循了客觀的學習規律：從簡單到復雜，從淺顯易懂到高深深奧。

三階行列式是學習和理解以及求解高階行列式的敲門磚，只有熟悉掌握了三階行列式才能更好地學習求解高階行列式。對于n階行列式的求解，通常在于分析理解得出規律，只有在熟練掌握三階行列式，熟悉行列式的性質的基礎上才能準確得出n階行列式的規律，從而求解最后的值。

三、 教學結論

線性代數是研究多元和變元的線性問題，研究線性方程組解得存在條件、解的結構以及解的求法的一門數學課程。行列式是線性代數中最基本的概念和理論，是矩陣的預備知識也是研究矩陣的一種有效工具，也是求解線性方程組最基本的方法。為解決涉及多元線性方面的經濟和生活問題，需要運用行列式來分析求解。

三階行列式培養了求解線性方程組的基本思想和基本方法，將三階行列式的思想和方法應用到多元線性方程組的求解中，是三階行列式存在的意義和使命。

本文從最簡單的二階行列式開始剖析三階行列式在行列式中的重要地位和作用。三階行列式是二階行列式的延伸，是高階行列式的起點，是求解高階行列式的突破口和基礎起始點。理解掌握三階行列式并運用三階行列式的思想方法求解高階行列式，從而解決工程、科學、經濟和生活中疑難線性方面的問題，才是行列式最終的學習目的。

參考文獻：

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作者簡介：

張春紅，湖南省長沙市，湖南科技職業學院。