你看到的是點，我看到的卻是函數

吳 琳

初學幾何的時候，我們就知道了點動成線；初學函數的時候，我們也知道了，函數描述的是兩個變量之間的關系，如果將這兩個變量分別看作一個點的橫坐標和縱坐標，我們就能得到函數的圖像.

如果題目給出的一個點的坐標中含有參數，如點P（2m-1，4m+3），隨著m取不同的值，就能得到不同的點的坐標，得到無數個點.這些點是怎么分布的呢？先采用圖像法，取一些特殊值.________________________________

m 0_____________________________________（3，11）_2m-____1_4m+____3 P點坐標_-2_____-5_____-5_____（-5，-5）-1-3_____-1_____（-3，-1）-1_____3______（-1，3） （1，7）_______1______1______7_____2__3__1 1__

在平面直角坐標系中描出這些點，可以發現這些點都在同一條直線上，為什么呢？

如果設P點橫坐標為x，縱坐標為y，則

①×2-②得：y=2x+5，再回頭看看剛剛得出的這些點，都在直線y=2x+5上.因此雖然題目給出的只是一個點P（2m-1，4m+3），但實際上這個點在直線y=2x+5上，是一個一次函數.

通過前面這道題目我們不難看出，一個動點，如果能找出它的橫坐標和縱坐標之間的關系，這個關系式，就是這個點所在的函數的圖像上一點.

如“不論m為何值，點P（m-1，m2-2m-3）總在函數_______的圖像上”.

解決這道題，可以設由①得，m=x+1，所以y=（x+1）2-2（x+1）-3，化簡得y=x2-4.

2015年南通中考數學第28題提供的函數解析式是y=x2-2mx+m2+m-1（m是常數）.這個函數解析式可以寫成y=（x-m）2+（m-1）.由于這個二次函數二次項系數為1，因此這個拋物線的形狀不會改變，而頂點的坐標為（m，m-1），根據前面研究可以發現，這個頂點始終在直線y=x-1上，因此本題可理解為一個拋物線沿著y=x-1平移的拋物線組，了解到這一點之后，這道題就容易多了.

反之，如果已知一個點是函數圖像上一點，也可以根據函數的解析式設出點的坐標，如：

（1）一次函數y=2x+5圖像上的點可設為（m，2m+5）；

（2）二次函數y=-x2+2x+5圖像上的點可設為（m，-m2+2m+5）；

（3）反比例函數圖像上的點可設為

例（2017·蘭州中考改編）如圖1，拋物線y=-x2-2x+4與直線AB：y=2x+4交于A（-4，-4），B（0，4）兩點，直線交y軸于點C.點E是直線AB上的動點，過點E作EF⊥x軸交AC于點F，交拋物線于點G.

5.6.6 電療法 應用頻率為1～100電流治療疾病，促進局部血液循環，消炎、軟化瘢痕、松解粘連;防止肌肉萎縮。

（1）連接GB、EO，當四邊形GEOB是平行四邊形時，求點G的坐標.

（2）如圖2，在y軸上存在一點H，連接EH、HF，當點E運動到什么位置時，以A、E、F、H為頂點的四邊形是矩形？求出此時點E、H的坐標.

圖1

圖2

【思路分析】（1）點E是直線AB上的動點，所以點E的橫縱坐標滿足y=2x+4，可設E（m，2m+4），同樣方法可設G（m，-m2-2m+4）.根據GE=OB=4，列出一個關于m的方程，即可求出點G坐標.

（2）由于點E、F分別在直線AB、AC上，可設然后根據矩形的性質列出方程，求出m的值.

解：（1）設E（m，2m+4），

則G（m，-m2-2m+4）.

∵四邊形GEOB是平行四邊形，

∴GE=OB=4，

∴-m2-2m+4-2m-4=4，解得m=-2，

∴G（-2，4）.

（2）設E（m，2m+4），則

過A作AN⊥EG，過H作HQ⊥EG，垂直分別為N、Q.

∵四邊形AFHE是矩形，

總之，研究動點橫坐標與縱坐標之間的關系可以看出動點在哪個函數圖像上運動；反之，如果已知一個點在一個函數圖像上，則可以根據函數的解析式設出這個點的坐標.