簡化復雜圖形 提取核心要素

余中華

中考數學試卷中，常常可以看到這樣的一些綜合題，它們有著長長的題干，復雜的圖形.大多數同學遇到這類題目往往心生畏懼，不知道如何下手.下面以南通市一道中考壓軸題為例，評述我們該如何抓住關鍵點，提取題目中的核心要素.

已知拋物線y=x2-2mx+m2+m-1（m為常數）的頂點為P，直線l：y=x-1.

（1）求證：點P在直線l上.

（2）當m=-3時，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，與直線l的另一個交點為Q，M是x軸下方拋物線上一點，∠PAQ=∠ACM（如圖1），求點M的坐標.

（3）若以拋物線與直線l的兩個交點及坐標原點為頂點的三角形為等腰三角形，請直接寫出所有符合要求的m的值.

圖1

第（1）小問，觀察解析式可以發現x2-2mx+m2是一個完全平方式，因此這個解析式可以寫成y=（x-m）2+m-1，很容易得到頂點P的坐標為（m，m-1）.接著證明P（m，m-1）在直線l上即可，此時就不用考慮其他條件和圖形了，題目就簡化成“求證P（m，m-1）在直線l上”.可將x=m代入y=x-1后看y的值是否是m-1.

其實P（m，m-1）不是一個點，隨著m取不同的值，那么（m，m-1）就是不同的坐標，就代表一系列的點，這些點的橫坐標x和縱坐標y總滿足y=x-1，這也能說明點P不管坐標是什么，它始終在直線y=x-1上.

再看第（2）小問，當m=-3時，A、B、C、P、Q這些點的坐標都可以求出來.除了這些點，“∠PAQ=∠ACM”還涉及點M，M雖然是一個動點，但M始終是拋物線與直線CM的交點.拋物線的解析式已知，本題只要能求出直線CM的解析式，通過解方程組就可以求出點M的坐標.因此本題的關鍵步驟可以簡化為：

如圖2，已知P（-3，-4），A（-5，0），B（-1，0），C（0，5），Q（-2，-3），∠ACM=∠PAQ.求直線CM的解析式.

圖2

很顯然，要發揮點P、點Q的作用，需要將這兩個點的橫縱坐標都轉化為線段的長，考慮過這兩點作x軸的垂線，如圖3，那么PE=4，AE=2，QF=3，AF=3，可見這個圖中有兩個等腰直角三角形△AFQ、△AOC，由∠ACM=∠PAQ就可以得到∠PAE=∠CGO（G為直線CM與x軸的交點），接著根據△PAE∽△CGO可求出G點坐標，從而求出CM的解析式，最后根據點M是CM和拋物線的交點，求出點M的坐標.

圖3

第（3）小問討論的是當△OPQ是等腰三角形時，求m的值.因此本題只需討論O、P、Q三個點位置.由于P、Q是直線l與拋物線的交點，經過解方程組可以求出P、Q的坐標分別為P（m，m-1），Q（m+1，m），本題實際上是一個長度為 2的線段PQ在直線l上移動.因此本小題可以簡化為：

如圖4，已知P（m，m-1），Q（m+1，m），O（0，0），當m為何值時，△OPQ是等腰三角形.

圖4

通過這道題目，大家可以發現，后面兩個問題經過信息提取，分別得到了一個簡化后的題干和簡化后的圖形.由于沒有無效信息的干擾，問題變得非常簡單，很容易發現解決問題的思路.

因此對于一道綜合題，可能多個小問題共用一個圖形.對于每道小題，圖形上的所有信息不一定都能用得到，這些信息對于這一小題來說就是無效信息.這些信息保留在圖形上，不但對解決這道問題沒有幫助，反而干擾解題思路的尋找.因此學會提取題干和圖形中的有效信息，簡化題干和圖形，對于問題的解決是很有幫助的.

請大家試著畫出下面這道題的3個小問題中簡化之后的題干和圖形.

如圖5，O為坐標原點，點B在x軸的正半軸上，四邊形OACB是平行四邊形，sin∠AOB=反比例函數在第一象限內的圖像經過點A，與BC交于點F.

圖5

（1）若OA=10，求反比例函數的解析式.

（2）若點F為BC的中點，且△AOF的面積S=12，求OA的長和點C的坐標.

（3）在（2）的條件下，過點F作EF∥OB，交OA于點E（如圖6），點P為直線EF上的一個動點，連接PA，PO.是否存在這樣的點P，使以P，O，A為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請直接寫出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由.

圖6