從代數角度研究函數圖像變換問題

陜西省西安市高新第一中學 (710065) 汪仁林陜西省咸陽市乾縣第一中學 (713300) 姚利娟

最近筆者在上這節課時，引導學生從代數的角度研究圖像變換，有了新的收獲，現展現出來，與讀者交流.

一、教學策略

因為函數圖像是由點構成的，在研究圖像變換過程中，緊扣“研究圖像的變換規律實際上就是研究圖像上每個點的變化規律”這一本質來進行教學，先重點研究了參數φ對y=sin(x+φ)圖像的影響，初步感悟欲研究函數圖像的變換規律，只需研究圖像上每個點坐標的變化規律，進而讓學生類比已有的研究方法，自主探究另兩個參數對函數圖像的影響，再研究含三個參數的圖像變換綜合問題，最后將方法和規律推廣到一般函數中去.

二、教學實錄

1.研究y=sin(x+φ)與y=sinx圖像的關系

研究函數圖像的關系，其實就是研究圖像上點的關系，如果我們設函數y=sinx圖像上任意一點坐標為M(x0,y0)，這就說明sinx0=y0，由x+φ=x0得x=x0-φ.所以函數y=sin(x+φ)的圖像必定過M′(x0-φ,y0).容易知，點y=sinx可看成是由點M(x0,y0)向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|個單位得到.所以函數y=sin(x+φ)圖像是由函數y=sinx圖像向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|個單位得到.

由上述規律可以發現，左右平移變換可以利用對比零點位置來輕松解決，例如，函數y=sinx的一個零點為x=0，由x+φ=0可得到函數y=sin(x+φ)與其對應的一個零點為x=-φ，比較0和-φ在數軸上的位置，就可輕松得到函數y=sin(x+φ)的圖像是由函數y=sinx圖像向左還是向右平移|φ|個單位得到.

2.研究y=Asinx與y=sinx圖像的關系

學生分組合作，運用剛學的研究方法，來研究y=Asinx與y=sinx圖像的關系，概括總結一般規律.類比上述方法，設函數y=sinx圖像上任意一點坐標為M(x0,y0)，則函數y=Asinx的圖像必定過M′(x0,Ay0)，對比M(x0,y0)和M′(x0,Ay0)兩點坐標可知，函數y=Asinx的圖像是由函數y=sinx圖像上所有點橫坐標不變，縱坐標變為原來A倍得到.

3.研究y=sinωx(ω>0)與y=sinx圖像的關系

4.研究y=sinωx(ω>0)與y=sin(ωx+φ)圖像的關系

5.研究y=sinx與y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)圖像的關系

6.研究y=f(x)與y=Af(ωx+φ)(A>0,ω>0)圖像的關系

由以上推導規律可知，從代數角度(坐標)研究函數圖像變換對任意函數都適合，所以函數y=Af(ωx+φ)(A>0,ω>0)圖像可由函數y=f(x)圖像按上述方案①或方案②變換得到.

三、教后反思

從學生的課堂練習與課后作業效果來看，學生能夠抓住圖像上任意一點坐標的變化關系正確解答圖像變換問題，且對圖像的變換本質能夠深刻理解，起到了事半功倍的效果！

本節課從代數角度(坐標變化關系)研究圖像變換，抓住了圖像變換的本質，使學生能夠知其然且知其所以然，真正做到“變教教材為用教材”.如果從代數角度研究完圖像變換規律后再能借助幾何畫板進行動態演示驗證，教學效果會更好！

[1]劉聰勝、汪仁林.重視思想生成體驗,打造高效課堂——“正弦函數的性質”(第一課時)教學案例[J].中國數學教育，2014(1-2)：74-78.