圓錐曲線中范圍問題背后不等關系的尋找

江蘇省錫山高級中學 (214174) 吳寶瑩 季 斌

在現實世界和日常生活中，存在著兩種關系，一種是不等關系，一種是等量關系，等量關系可以看作一種特殊的不等關系，等量關系只是相對的，不等關系大量存在.圓錐曲線中基本量的計算屬于等量關系問題，比較簡單，而求基本量或參數的范圍就屬于不等關系問題，比較困難.如求離心率的大小只要建立關于基本量a、b、c的齊次方程就可以求出來，而求離心率的取值范圍就要尋找離心率取值范圍背后的某種不等關系，再轉化為關于離心率的不等關系，才能求出離心率的取值范圍.后者要比前者困難得多，難就難在“所求問題背后的某種不等關系”的尋找，事實上，離心率的取值范圍僅僅是表面現象，其“幕后的操縱者”是“某種不等關系”，正如物理學中的布朗運動，表面上是懸浮微粒做無規則運動，實際上是懸浮微粒被大量分子撞擊所形成的，是分子在做無規則運動.因此，要解決圓錐曲線中基本量或參數的范圍問題就要透過現象看本質，尋找出其“幕后的操縱者”——某種不等關系，那么怎樣尋找這個“某種不等關系”呢，一般有以下幾種方法：

1.利用題目本身條件尋找“不等關系”

2.利用焦半徑范圍尋找“不等關系”

點評：因為點P在雙曲線的右支上，所以點P到右焦點的距離PF2≥c-a,利用焦半徑范圍尋找“不等關系”.

3.利用曲線上動點橫坐標(縱坐標)的范圍尋找“不等關系”

(1)求橢圓的方程;

法二：連接CF并延長交橢圓于點N′，則xN′=

4.利用圓錐曲線基本量之間的本身大小關系尋找“不等關系”

圖1

點評：利用橢圓基本量a,b之間本身的大小關系a>b尋找“不等關系”.

5.利用判別式Δ>0尋找“不等關系”

圖2

(1)求雙曲線的方程；

(2)直線y=kx+m(k≠0,m≠0)與該雙曲線交于不同的兩點C、D，且C、D兩點都在以B為圓心的同一圓上，求實數m的取值范圍.

點評：直線y=kx+m(k≠0,m≠0)與該雙曲線交于不同的兩點，所以判別式Δ=(-6km)2-4(1-3k2)(-3m2-3)>0，得到關于m,k的不等關系m2+1>3k2(1)，再由CB=DB，點B在線段CD的垂直平分線上，建立關于m,k的等量關系4m+1-3k2=0(2)，聯立(1)(2)就可以求出實數m的取值范圍.