一道向量題的多種解法探究

江蘇省常州高級中學 (213003) 陳 武

題面設置簡單、解題入口寬、解法靈活多樣，能有效地考查平面向量的基礎知識，考查數形結合思想和轉化化歸的能力以及綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力.下面對這道題目的解法進行探究，供讀者參考.

圖1

解法1:建立直角坐標系xOy如圖1所示，不妨設A(-1，0),B(1,0),C(cosα,sinα)，P(rcosθ,rsinθ)其中r∈[0,1],α,θ∈[0,2π].

4(cos(α-θ)=-1，r=1時等號成立);

評注:本解法通過建立直角坐標系xOy用向量數量積的坐標運算來求解，思路清晰.在求解3r2-2rcos(α-θ)-1的最值時先 “固定”r處理cos(α-θ)，然后再求解最大最小值.

文[1]給出矩形的如下性質

設O為矩形ABCD所在平面上任意一點，則恒有OA2+OC2=OB2+OD2.

評注:(1)本解法中運用了矩形的這個看似簡單但功能強大的性質，轉化為求2PO2+PC2-2的取值范圍；(2)2PO2+PC2-2取值范圍的求解也可利用解法3的不等式和數形結合思想來處理.

[1]王淼生.在談矩形一個性質得應用[J].數學通訊(上半月)，2016(7、8)：53-55.

[2]袁青.巧用極化恒等式解決兩類平面向量數量積問題[J]. 數學通訊(上半月)，2016(7、8)：24-25.