淺析歸納題型優(yōu)化代數(shù)法解題*

(210024) (210036) ()

代數(shù)解題離不開“運算”，而且數(shù)學運算是數(shù)學六大核心素養(yǎng)之一，運算素養(yǎng)的培養(yǎng)應(yīng)該將功夫花在平時，通過選擇具有數(shù)學思維價值的問題作為載體，在解決問題的過程中深化對知識的理解和運算技巧的掌握.如何才能算的好，算的巧，這就要求在平時的學習中應(yīng)不斷滲透算理和算法，不斷加強計算能力的培養(yǎng)，更重要的是要不斷反思和比較，尋求更簡潔和合理的運算途徑，掌握“算”的技巧，達到舉一反三的效果.

一、構(gòu)造方程型

例1 設(shè)x，y為實數(shù)，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值為________.

點評：處理雙元最值問題，要具有方程意識，利用判別式構(gòu)造不等式是常用的處理方法，要多角度觀察題中所給式子的結(jié)構(gòu)特征以及題設(shè)條件與要求解的目標之間的聯(lián)系，才能把握解題方向，迅速求解目標.

二、設(shè)而不求型

點評：對于處理解析幾何中的運算問題，設(shè)而不求法是常用的運算處理手法，需要尋找變量之間的關(guān)系，在結(jié)合目標函數(shù)，通過整體代換達到求解的目的.

三、基本不等式型

點評:在處理與三角形有關(guān)的問題時，很容想到正余弦定理，其關(guān)鍵是合理的利用邊角關(guān)系，盡量減少變量的個數(shù)，恰當?shù)谋硎灸繕撕瘮?shù)，對于分式目標函數(shù)，通過創(chuàng)造條件最好還是借助基本不等式求函數(shù)最值，也可以借助于導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.

四、換元變換型

點評:利用換元變換將繁冗的條件明晰化，結(jié)合恒等式(a+b)2=(a-b)2+4ab建立條件和目標的聯(lián)系，從而使問題豁然開朗，使得復(fù)雜的問題簡單化.

五、分離變量型

點評:變量分離法是高中數(shù)學解題的一種常規(guī)的、有效的方法，其實質(zhì)是利用函數(shù)與方程的思想，將方程、不等式的有解及恒成立問題，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)的值域與最值問題.分離參數(shù)法要成為解題的首選方法，其主要目的是將含參數(shù)問題轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的問題，分離后獲得的函數(shù)，最終可通過函數(shù)解決問題.

六、轉(zhuǎn)換主元型

例6 已知拋物線y=x2+ax+b，存在實數(shù)x0∈(-,-3)∪(3,+)，使得則a2+4b2的最小值為 ．

點評:對于求解一類含參方程f(a,x)=0(a為參數(shù))自變量x被限定在某個范圍有解問題，如果從正面求解實數(shù)a的范圍要面臨很繁瑣的討論，那么就把a當做主元來求解，即令a=g(x)，轉(zhuǎn)換為求函數(shù)a=g(x)關(guān)于自變量x的值域問題.即對于某些問題當利用主元難以求解時，可以考慮從次元出發(fā)(即化客為主)，并把主元放在次元的位置上進行處理，實施戰(zhàn)略轉(zhuǎn)移，其實它是一種換位法，體現(xiàn)了向?qū)α⒚孓D(zhuǎn)化的特點.

七、構(gòu)造函數(shù)型

點評:構(gòu)造函數(shù)是一種重要的解題思想方法．函數(shù)是整個高中數(shù)學的核心知識，它具有工具性和導(dǎo)向性.許多問題都可以通過巧妙地構(gòu)造函數(shù)，使得原本撲朔迷離的問題變得直觀明了，變得可程序化.因此，在教學中應(yīng)該重視這種方法的引導(dǎo)和滲透，同時還要加強訓(xùn)練，及時歸納總結(jié)，才有利于方法的掌握和運用[1]．

八、賦特殊值型

例8 設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-3x+1(x∈R)，若對于任意的x∈[-1,1]都有f(x)≥0成立，則實數(shù)a的值為_________.

點評:此類選擇題多為壓軸題，綜合性較強，有一定的難度，需要在綜合分析的基礎(chǔ)上通過將特殊值法與其他方法融合運用或使用多次特殊值法來解．對于小題，要采取小題小做，才能提升解題速度.因此對問題的求解應(yīng)多方位、多角度、多途徑進行觀察和思考，才能找到解題的最佳途徑.

[1]郭建華.例談解題中“輔助元”的構(gòu)造[J]．高中數(shù)學教與學，2014(11)：22-24．