利用高等幾何極點與極線關系解答高考數學試題

陜西安康學院數學與統計學院 (725000) 羅珊珊

1.極點與極線的概念

定義1[1]給定二階曲線，如果兩點P,Q(P不在Γ上)的連線與二階曲線Γ交于兩點M1,M2，且(M1M2,PQ)=-1，則稱點P,Q關于二階曲線Γ互為共軛點.特例，當點P為M1M2的中點，則點Q為無窮遠點.

定義2[1]定點P關于二階曲線的共軛點的軌跡是一條直線，這條直線叫做P點關于此二階曲線的極線；P點叫做這條直線關于此二階曲線的極點.特例，如果P點在二階曲線上，則點P的極線就是此二階曲線在P點處的切線.

2.圓錐曲線的極點和極線

定理3[2]定點P(x0,y0)關于二次曲線Γ:Ax2+2Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的極線L的方程為：L：Ax0x+B(x0y+xy0)+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0.

3.極點和極線理論的應用

例1 (2009高考數學海南、寧夏卷理科13題)已知拋物線Γ的頂點在坐標原點，焦點為F(1，0)，直線L與拋物線Γ相交于A,B兩點，若AB中點為(2，2)，則直線L的方程為 .

方法1：設A(x1,y1)，B(x2,y2)，則有

設AB：y=x+b,代入(2，2),得b=0,則L：y=x.

例2 (2009高考數學廣東理科21題)已知曲線Cn:x2-2nx+y2=0(Cn=1,2,3)從點P(-1，0)向曲線Cn引斜率為kn(kn>0)的切線Ln，切點為Pn(xn,yn),求數列{xn}，{yn}的通項公式.

方法1：Cn:(x-n)2+y2=n2表示圓心在(n，0)處，半徑為n的圓.

設切線方程為Ln:

方法2：Cn:(x-n)2+y2=n2表示圓心在(n，0)處，半徑為n的圓.

在Rt△PPnCn中，由射影定理得：

[1]周振榮,趙臨龍.高等幾何.華中師范大學出版社，2013.

[2]趙臨龍，一道高考數學題推廣的修正.中學數學教學，2013.1:23-24.