例析小題巧做之圖像法解題

江西師大數(shù)信學(xué)院 (330022) 嚴(yán) 婷

圖像法是借助函數(shù)圖像的直觀性來處理有關(guān)代數(shù)問題的方法，體現(xiàn)的是數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.高考數(shù)學(xué)中的選擇、填空類小題常以此法為落腳點(diǎn)考察學(xué)生對數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用.借助圖像法解題,不僅可以避免繁瑣的運(yùn)算,達(dá)到事半功倍的效果，而且還能加深學(xué)生對數(shù)學(xué)基本概念的理解，對基本知識與基本技能的靈活運(yùn)用.本文擷取幾例，予以說明.

圖1

例2 對任意實(shí)數(shù)x，設(shè)f(x)=min {4x+1，x+2,-2x+4}，則f(x)的最大值是 .

圖2

評注：法一用代數(shù)法求解，運(yùn)用了分類討論的思想，但在分類過程中，學(xué)生需十分謹(jǐn)慎細(xì)心，否則易因漏分或錯分而得不到正確答案.法二運(yùn)用圖像法，較之法一巧妙地避免了復(fù)雜的分類討論，而且從圖像的高低可以直觀的看出所對應(yīng)的函數(shù)值的大小，達(dá)到事半功倍的效果.

圖3

A.b

C.b

評注：要比較a,b,c三者的大小，首先應(yīng)把它們變形為同底數(shù)或同指數(shù)的形式，但由于我們最多只能統(tǒng)一兩個數(shù)的形式，這時在此基礎(chǔ)上利用函數(shù)圖像，便能快速得出三者的大小關(guān)系，使問題迎刃而解.

圖4

解：設(shè)h(x)=

f(x)≤g(x)恒成立，則只能將h(x)向下移動，當(dāng)半圓恰好與直線相切時，結(jié)論成立.

評注：對于不等式恒成立的問題，我們常用的方法有構(gòu)造函數(shù)法，分離變量法，圖像法等.但在選擇、填空類題求解可以優(yōu)先考慮圖像法，尤其是易于畫出給定函數(shù)圖像的題，它可以省去繁瑣的計算步驟，使復(fù)雜問題簡單化.

例5 已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f(x)滿足f(x)+f(2-x)=0,且當(dāng)x∈[-1,0)時，f(x)=

A.2B.3C.4D.6

圖5

解：由題意可知，f(x)是周期為2的奇函數(shù)，方程變形為f(x)=g(x)-1，令h(x)=g(x)-1，則題目轉(zhuǎn)化為求在[-3,3]上函數(shù)f(x)與h(x)圖像的交點(diǎn)個數(shù)，畫出圖像如圖5，則由圖像可以直觀看出有A,B,C三個交點(diǎn)，故選B.

評注：這是與周期函數(shù)，奇偶函數(shù)結(jié)合的一道求方程解的個數(shù)問題.顯然，用代數(shù)法無法求解，但若把方程根的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點(diǎn)個數(shù)問題，運(yùn)用圖像法便能天塹變通途，將題目解出.

綜上，圖像法在解部分選擇、填空類題時，總會給我們帶來意想不到的快捷與高效.所以，要想學(xué)生能夠靈活的運(yùn)用圖像法解題，那么老師上課時就應(yīng)該足夠重視基本函數(shù)圖像的性質(zhì)與畫法，并讓學(xué)生熟練的掌握圖像的平移、旋轉(zhuǎn)、對稱等變換.