從兩道高考姊妹題看求二元函數最值問題解答

貴州省畢節市梁才學校 (551700) 熊福州

求二元函數t=G(x,y)的最值問題，常見兩類，第一類是無約束條件F(x,y)=0或F(x,y)≤0的，如t=x2+y2(x,y∈R)，t=x2+y2(x≥1,y≥2)，解答第一類問題用文[1])的兩個方法(特殊的化為一元函數求最值，一般的認一元(自變量)定一元(參數)，逐步求最值)，第二類是有約束條件F(x,y)=0或F(x,y)≤0的，如t=x2+y2(x+y=2)，t=x2+y2(x+y≤2)，t=x2+y2(x≥0,y≥1,x+y≤2).現行高中教科書中的線性規劃(t=G(x,y)，F(x,y)=0或F(x,y)≤0全是二元一次)與非線性規劃屬于第二類，在第二類中，t=G(x,y)(F(x,y)=0)的最值(值域)是非常基礎而普遍的數學問題(因其余情形都可轉化為這種情形)，是高考競賽中的熱點和難點，這類問題的本質是方程(組)的實解集(文[2])，這類問題直接的表述：已知F(x,y)=0，求G(x,y)的取值范圍(最值)，本質是求t=G(x,y)(F(x,y)=0)的最值(值域).第二類問題的一般解法是換元，轉化為一元函數求最值，特別的可數形結合法或不等式法.

注：例1是沒有約束條件F(x,y)=0或F(x,y)≤0的二元函數t=G(x,y)求最值，由于化不成一元函數求最值，故用通法認一元(自變量)定一元(參數)，逐步求最值.

注：例1，例2是姊妹題，都是二元函數t=G(x,y)求最值，只是例1無約束條件方程,例2有約束條件方程.

[1]熊福州由2010年高考四川理(12)看多元函數最值問題的解法[J].中學數學研究(江西)，2010,10.

[2]熊福州,張龍躍.數學問題的根基本質是方程的解集[J].中學數學研究(江西)，2015，8.