對一道教材習題的深入研討

安徽省樅陽縣第二中學 (246700) 許實宏安徽省樅陽縣宏實中學 (246700) 江保兵

普通高中課程標準實驗教材人教A版必修4習題3.2B組(P142)有這樣一道習題:

問題1 設f(α)=(sinα)x+(cosα)x,x∈{n|n=2k,k∈N+}.利用三角變換，估計f(α)在x=2,4,6時的取值情況，進而對x取一般值時f(α)的取值范圍作出一個猜想.

這道題語言簡潔，短小精悍卻寓義深刻，很值得深入研討.本文先對x=2,4,6時的取值情況給予判定，然后提出猜想并結合主題，再對參數x的取值情況作進一步的討論，最后從冪平均不等式的角度給予一個總結.

一、猜想與證明

證明：當x=2k,k∈N+時，f(α)=(sinα)x+(cosα)x≤(sinα)2+(cosα)2=1,當且僅當sinα=±1或cosα=±1時等號成立.

(1)當n=2,n=4時，結論顯然成立；

二．參數的變化

問題2 設f(α)=(sinα)2p+(cosα)2p,p∈{p|p≥1,p∈R},估計f(α)的取值范圍.

問題3 設f(α)=(sinα)2p+(cosα)2p,p∈{p|p<1,p∈R},估計f(α)的取值范圍.

問題4f(x)=xp+(1-x)p,p∈{p|p∈R,p≠0}，估計f(x)的取值范圍.

三、冪平均不等式

首先介紹一下冪平均不等式：

問題5 設f(α)=(sinα)2p+(cosα)2p,p∈{p|p∈R,p≠0}，估計f(α)的取值范圍.

[1]單墫.我怎樣解題.[M].上海：哈爾濱工業大學出版社，2013.

[2]波利亞.怎樣解題.[M].上海：上海教育出版社，2001.

[3]羅增儒.數學解題學引論.[M].西安：陜西師范大學出版社，2008.