圓錐曲線一個(gè)定值問(wèn)題的研究與應(yīng)用

廣東省東莞市東莞中學(xué) (523005) 于 濤

不少高考試題有著深刻的背景，本文就2017年全國(guó)卷Ⅰ理科第10題的命題背景做了進(jìn)一步的探究，拓寬了圓錐曲線兩條垂直焦點(diǎn)弦長(zhǎng)倒數(shù)和為定值的成立條件.

一、原題呈現(xiàn)

已知F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條相互垂直的直線l1,l2，直線l1與C交于A,B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D,E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為( ).

A.16B.14C.12D.10

二、拓展延伸

經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，除了垂直以外，當(dāng)兩條焦點(diǎn)弦所在直線關(guān)于y=±x對(duì)稱時(shí)，弦長(zhǎng)倒數(shù)和也為定值.

結(jié)論2、3的證明可仿照結(jié)論1的過(guò)程證得，此處不再贅述.需要說(shuō)明的是，結(jié)論2、3中的兩焦點(diǎn)弦可以共焦點(diǎn)，也可不共焦點(diǎn).

三、結(jié)論應(yīng)用

(Ⅱ)求四邊形ABCD的面積的最小值.

圖1

(Ⅰ)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，證明：k1·k2=1；

(Ⅲ)是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=

λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

在解題時(shí)，我們要注重題目背景的挖掘，展開(kāi)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究，從而發(fā)揮試題的價(jià)值，提高復(fù)習(xí)效率.

[1]彭世金.圓錐曲線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的一個(gè)公式及應(yīng)用[J]數(shù)學(xué)通訊，2007(22)：22-23.