逆向思維在數學解題中的妙用

廣東省惠州市第一中學 (516007) 戴 飆

逆向思維是與正向思維相對的一種思維方式，當我們反復考慮某個問題陷入困境時，可考慮從問題的反面著手，執果索因，從不同于常規的角度思考，這種思維往往能使我們茅塞頓開，幫助我們找到解決問題的新思路.本文列舉數例闡述逆向思維在數學解題中的妙用，以期達到拋磚引玉之效.

1.妙用分析法解題

分析法是從結論出發“執果索因”，步步尋求結論成立的充分條件，它只要求每相鄰的兩個論斷中，后一個是前一個的充分條件即可(不一定等價).尋求從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”.

證明：∵A+B+C=π,a、b、c>0.

評注：本題用直接法證明是很困難的，不妨改變思維方向進行逆向思維，采用分析法.由于三角形內角和為π，結合本題的結構特點，利用常量代換，即將π用A+B+C替換，從而開拓了新的解題途徑，解法獨特,閃爍出智慧的光芒！

這顯然成立，故原命題成立.

評注：本題所給條件2tanA=3tanB,信息十分有限，根據條件想推出結論也顯得比較困難，于是我們應轉變傳統的正向思維，采用逆向思維，從結論出發，尋找每步成立的充分條件.

2.巧用反證法解題

反證法是一種間接證法，即先提出一個與命題的結論相反的假設，然后從這個假設出發，經過正確的推理，導致矛盾，從而否定相反的假設，達到肯定原命題正確的一種方法.

(2)當α>β時,則有0

綜上，α≥β不成立，∴α<β.故命題得證.

評注：本題從條件直接推導結論是很困難的，而采用分析法思維受阻，簡直無法逆推.這時不妨從常規思路中跳出來，換一種逆向思維方式，從結論出發，在否定結論的前提下反向推出矛盾，問題則迎刃而解.

例4 (2011年全國高中數學聯賽吉林省預賽試題)已知a1,a2,…,a2011是一列互不相等的正整數，如果任意改變這2011個數的順序，把它們記為b1,b2,…,b2011，則數M=(a1-b1)(a2-b2)(a3-b3)…(a2011-b2011)的值( ).

A.必為0B.必為1C.是奇數D.是偶數

所以假設不成立，即M是偶數，顯然M存在不為零的值,則選項A不正確，故選D.

評注：本題借用“正難則反”的思想進行求解，體現了一種逆向思維的數學途徑，有助于提高學生發散思維能力，拓寬數學視野，同時能激發學生學習數學的興趣.

3.借用逆否命題解題

當我們直接證明原命題有困難時,變換角度,可以考慮證明它的逆否命題.從某種程度而言這也是一種轉換的思想，這種轉換往往能尋求到順利解決問題的切入點，達到事半功倍的效果.

例5 已知函數y=f(x)在(-∞,+∞)上是增函數，m,n∈R,證明：若f(m)+f(n)≤f(-m)+f(-n),則m+n≤0.

證明：本題直接證明較困難，于是可考慮證明此命題的逆否命題，“若f(m)+f(n)≤f(-m)+f(-n),則m+n≤0”視為原命題，其逆否命題是：“若m+n>0，則f(m)+f(n)>f(-m)+f(-n).”

∵m+n>0,∴m>-n,n>-m,又函數y=f(x)在(-∞,+∞)上是增函數，∴f(m)>f(-n),f(n)>f(-m),?f(m)+f(n)>f(-m)+f(-n)，∴命題“若m+n>0，則f(m)+f(n)>f(-m)+f(-n).”為真，∴原命題“若f(m)+f(n)≤f(-m)+f(-n),則m+n≤0”也為真.故原命題得證.

評注：本題采用逆向思維，破除順推定勢，巧妙轉化為其逆否命題.此解法向我們顯明，逆向思維的靈活性為數學學習注入了生機與活力，也增加了數學學習的趣味性.

4.逆用運算法則及定理解題

數學中一些運算法則及定理具有雙向性,可逆性.但學生由于受思維定勢的影響,往往只注意正向思考.教學中如果我們重視運算法則、定理,公式等逆向使用，學生不但對所學知識理解得更透徹，而且還能養成雙向考慮問題的習慣，在運用中能左右逢源,融會貫通.

例6 在△ABC中，求證：sin2A+sin2B-sin2C=2sinAsinBcosC.

評注：本題將左邊的式子巧妙變形，逆用正、余弦定理，解法新穎，充分展示了逆向思維是一種創造性思維方式，有利于幫助學生樹立創新意識，從而激發學生的求知欲和好奇心，提高學習數學的興趣，也充分展示出數學的無限魅力！

例7 已知函數f(x)的導數為f′(x)，f(x)不是常數函數，且(x+1)f(x)+xf′(x)≥0，對x∈[0,+∞)恒成立，則下列不等式一定成立的是( ).

A.f(1)<2ef(2)B.ef(1)

C.f(1)<0D.ef(e)<2f(2)

解：由(x+1)f(x)+xf′(x)≥0得：xf(x)+[f(x)+xf′(x)]=xf(x)+[xf(x)]′≥0,設F(x)=ex[xf(x)],那么F′(x)=ex[xf(x)]+ex[xf(x)]′=ex{xf(x)+[xf(x)]′}≥0，∴函數F(x)=ex[xf(x)]在x∈[0,+∞)上是單調遞增函數，則F(1)

評注：當題設條件中存在或通過變形出現特征式“f′(x)g(x)+f(x)g′(x)”時，可聯想、逆用積的求導法則，構造可導函數y=f(x)g(x).特別地，若f′(x)+f(x)≥0,構造F(x)=exf(x)，則F′(x)=ex[f′(x)+f(x)]≥0.

數學逆向思維有利于豐富學生的思維方式，打開學生的數學解題思路，使得學生能夠學會從不同的角度、以不同的方法嘗試解決問題.這不僅喚起學生的求知欲和好奇心，還能激發起學生的創造性思維，有利于幫助學生樹立創新意識.值得注意的是：正向思維有它很大的積極性的一面，但決不能一味地追求逆向思維的訓練，否則適得其反.要結合所教學生的實際情況，因材施教，適當、適度地滲透逆向思維在數學解題中的妙用，以達到啟迪數學智慧的目的.