例談教材中的構造法

廣東省開平市第一中學 (529300) 梅延峰

在解題時，通過對條件和結論的分析，構造輔助元素，它可以是一個圖形、一個方程(組)、一個等式、一個函數、一個等價命題等，架起一座連接條件和結論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數學方法，我們稱為構造法.運用構造法解題，可以使代數、三角、幾何等各種數學知識互相滲透，有利于問題的解決.構造法解題是一種創造性的思維活動，構造法是依據題設的特點，用已知條件中的元素為“元件”，把已知數學關系作“支架”，構造出一種新的數學模型，溝通數學模型間的相互關系，從而轉換命題.運用構造法，常使數學解題突破常規，具有簡潔、明快、精巧的優點，下面以人教A版教材的例題和習題來感受一下解題中的構造法思想.

一、構造組合數

例1 在(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)n+2的展開式中，含x2項的系數是多少？

例2 已知：a≠b，求證a4+6a2b2+b4>4ab(a2+b2).

二、構造數列

例3 一個蜂巢里有1只蜜蜂，第一天，它飛出去找回了5個伙伴；第二天，6只蜜蜂飛出去，各自又找回了5個伙伴……,如果這個找伙伴的過程繼續下去，第6天所有的蜜蜂都歸巢后，蜂巢一共有( )只蜜蜂.

解析：可構造數列a1=1，an+1=5an+an，可計算到第6天所有的蜜蜂都歸巢后，蜂巢一共有a6=46656只蜜蜂.

三、構造幾何圖形

解析：可構造目標函數z=

四、構造向量

圖1

例5 如圖1，在直角坐標系中，以原點O為圓心，單位長度為半徑的圓上有兩點A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),試用A、B兩點的坐標表示∠AOB的余弦值.

五、構造三角式

六、構造函數

例7 利用函數的單調性證明不等式lnx

辯證唯物主義認為事物是普遍聯系的，在數學中不同的數學分支間也都具有這種聯系性，有的顯而易見，有的則較為隱蔽，數學教學的一個功能就是要向學生揭示這種關系，在這個過程中，可以使學生的知識體系得到整合，并逐漸對數學中的各種思想方法產生較為清晰的認識，對數學解題方法的拓展其實也是一種聯系性的拓展，構造法是基本的數學方法，構造的對象可以是各種各樣的，但要注意抓住問題的本質特征，構造出相關模型(式子)來使問題得以簡化，并為問題的最終解決鋪平道路.