貴在比較，勝在遷移
——以數(shù)量積為例談解題教學(xué)

浙江省寧波市鄞州區(qū)姜山中學(xué) (315191) 李 烽

波利亞曾說過：……教師能拿出一個有意義的但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生發(fā)掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個完整的理論領(lǐng)域.在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，我們在課前致力于優(yōu)化學(xué)生的學(xué)習(xí)方案，課中努力提高課堂的學(xué)習(xí)效率，課后反思提升對數(shù)學(xué)問題的認知水平.其中一題多解、一題多變是一線教師常用的課堂組織形式.

1.問題的提出

在平面向量的復(fù)習(xí)中，一道數(shù)量積的練習(xí)解答不甚滿意，通過面批，老師鼓勵學(xué)生從多角度展開思考得到不同的解題體驗，進而開設(shè)了一堂名為“三生三世，十里桃花”為主題的復(fù)習(xí)課.本文做一整理，以作拋磚引玉.

圖1

2.教學(xué)過程

2.1 觀當(dāng)下，一題多解引思考

師：平面向量數(shù)量積集數(shù)形于一體，在解題中常與函數(shù)、不等式內(nèi)容相結(jié)合，是高考和學(xué)考的熱點考查內(nèi)容.今天我們以本題為例，來談一談你在解題中的心路歷程：即從何入手，遇到了哪些困難，你是怎樣解決這些困難的？

生2：這里還是有猜的成分，不好說明兩線段乘積何時最大.我是從坐標入手的，轉(zhuǎn)化后處理不等式問題.經(jīng)過整理我們有以下幾個方法：

生3：這里的二個變量處理起來還是比較麻煩的，我從圓方程想到可設(shè)P(2cosθ,2sinθ)，參變量唯一，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域問題，同樣可得解.

生4：我一開始也是用坐標法來做的，但我發(fā)現(xiàn)在定圓問題中，抓住圓心和半徑，利用投影能更快地解決問題.

師：以上幾位同學(xué)分別從特值猜想、坐標代數(shù)論證、幾何直觀展示三個方向加以解決，解得都很好，展示了各位同學(xué)扎實的基本功.請同學(xué)們在整理以上方法的同時，著眼于策略的比較，議一議三個方向上的解法體會.

生1：特值猜想是選擇填空中常用的方法，能提高解題的效率，幫我節(jié)省不少的時間，特別是在一類定值問題中常能起到秒殺的作用，但在取值范圍問題中因停留于直覺判斷，往往不夠嚴謹造成失分.

生2：從幾何意義角度解決問題清楚直觀，但是在幾何條件的尋找轉(zhuǎn)化上常覺困難，特別是條件復(fù)雜的題感覺經(jīng)常找不到門路.從數(shù)與形的表示中去尋求統(tǒng)一，坐標法給我們明確方向，距離、斜率、截距等幾何屬性是常見形式.

生3：我還是覺得坐標法更靠譜，建立合適坐標系，取值范圍轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，關(guān)鍵在于多元多參向一元單參的轉(zhuǎn)變處理.各點坐標不明確的可考慮用唯一基底表示，用線性運算解決.

師：同學(xué)們都能結(jié)合自己的情況，談了對這類題解法策略的理解，都說得很好.在平面向量最值問題的解決過程中我們注重坐標化、線性化、圖形化的解題策略，注重方法的比較與歸納，定能有理想的收獲.

2.2 賞過往，前世今生共比較

回溯過往，我們可以在高考、學(xué)考甚至于課本中找到本題的題源.

結(jié)合本課例題的多種解法，你對這三題會采取怎樣的解題步驟？

生8：題1與例題類似，但突出了點在半圓上，我會用參數(shù)法設(shè)點，只要規(guī)定其中θ∈[0，π]即可.

生9：題2考查數(shù)量積的幾何意義，從投影考慮顯然此題只和弦AB的長度有關(guān).

生10：題3各點坐標難以量化，我覺得用極化恒等式更簡單，結(jié)合圓上動點到定點距離的幾何屬性可以迅速得到答案.

2.3 品變式，一題多變求余韻

對于此類三角形背景下的數(shù)量積問題，請大家展開討論，還可以從哪些方面進行怎樣的拓展變形.

比如逆向思維考慮：

又如從動點的幾何屬性考慮：

2.4 悟題型，課堂小結(jié)歸于一

請同學(xué)們從知識、方法、思想三個維度談?wù)劚竟?jié)課的收獲.

學(xué)生點評感悟，教師歸納統(tǒng)一.平面向量數(shù)量積的取值范圍隱含函數(shù)的最值問題，坐標代數(shù)處理使其簡單化，幾何量圖形轉(zhuǎn)化實施使其直觀化.

3.教學(xué)反思

例題教學(xué)要經(jīng)過方法匯總——內(nèi)化比較——外化遷移的過程，既要使其現(xiàn)形，更要使其入魂.通過方法的比較，使學(xué)生的思維得到鍛煉，實現(xiàn)解題能力的提升.平面向量的數(shù)量積問題是高考和學(xué)考的一個熱點，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個難點.本課從基礎(chǔ)問題出發(fā)，以一題多解、多變的教學(xué)方法，從特值猜想、坐標論證、數(shù)形結(jié)合三個視角，歷經(jīng)現(xiàn)在式、過去式、將來式三種變化，進行知識網(wǎng)絡(luò)的整合，融合不等式、函數(shù)、解三角形等知識要點，有利于學(xué)生從聯(lián)系的觀點來理解和認識數(shù)學(xué).

3.1 一題多解，方法的融合貴在比較

忽如一夜春風(fēng)來，千樹萬樹梨花開.教學(xué)的目的是使不同層次的學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)都得到一定的提高.在課堂的討論交流中應(yīng)逐步培養(yǎng)起自主探究的能力，先求百花爭放，落實相關(guān)方法步驟的整理，再重梳理比較，在思路分析和方法比對中發(fā)現(xiàn)異同優(yōu)劣，優(yōu)化解題的策略，最后注重方法的總結(jié)與提升，使學(xué)生在解題活動中培養(yǎng)起歸納的習(xí)慣.其中方法間的比較是學(xué)習(xí)內(nèi)化的過程：一要比較命題的背景和意圖，“有什么求什么”；二要比較方法的過程與步驟，“怎么辦怎樣好”；三要比較效果和效率，“哪些可借鑒”.最終實現(xiàn)一種個人的解題習(xí)慣.

3.2 一題多解，方法的落實勝在遷移

千淘萬漉雖辛苦，吹盡黃沙始現(xiàn)金.一題多解、一題多變在基本方法落實規(guī)范后，勝在及時準確地外化遷移.這要求我們對多解性方法進行必要地整理提煉，形成問題處理的經(jīng)驗.在適當(dāng)時機能有序提取題設(shè)的條件，選擇合適的方法才能提高解題的效率，煉得數(shù)學(xué)的真金.

好的例題教學(xué)應(yīng)該是照亮學(xué)生解題的燈塔.立足于高觀點，挖掘知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，挖掘例題、習(xí)題的教學(xué)功能，才能領(lǐng)會知識中蘊涵的隱性思想，實現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的滲透.既能玩味經(jīng)久，又要入魂三分.