二次函數交點式在解題中的妙用

陶克斌

摘要：二次函數在中考題目當中一直是熱點和難點，在教學過程中，部分學生對二次函數知識的理解運用不是很到位，這是由于二次函數可分為一般式、交點式和頂點式等多種形式，學生難以區分把握。其中，交點式二次函數在解決最值問題時能發揮較大作用，需要重點理解掌握，往往能夠將題目簡化，讓人豁然開朗，完成解答。對此，本文就交點式二次函數問題進行闡述。

關鍵詞：二次函數交點式;最值;對稱軸

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2018）15-0224-01

引言

函數在初中數學課程體系當中一直是重中之重，其知識體量大，知識點復雜，對于定理和定義的理解需要十分到位且深刻，才能把二次函數掌握清晰，因此是教學任務的主要攻克對象，教師與學生均對其投入了巨大的時間和精力。在考試中，函數經常作為壓軸題和難點題出現，學生在解答過程中往往會感覺到力不從心，丟分現象嚴重。學生利用常規方法解答函數題目，往往通過大量計算和思考也不能保證解題的正確率。對此，筆者結合實際教學經驗，提出二次函數的交點式解題方法，可大幅度簡化部分二次函數問題，提高得分率。

1.求對稱軸

當已知函數解析式為y=ax-x1x-x2時，可令y=0，代入方程得a（x-x1）（x-x2）=0，可以解得拋物線與橫軸交點坐標A（x1，0）、B（x2，0），由于二次函數曲線具有對稱性，可知此兩點坐標關于其對稱軸是互相對稱的，則其對稱軸橫坐標為x=x2-x12。

例1 ：二次函數y=a（x-1）2+4，已知其與x軸一個交點為（2，0），求該拋物線與x軸另一個交點。

解：常規手段可以利用（2，0）代入方程，解得a=-4;

得出解析式為y=-4（x-1）2+4;

繼續令y=0，可得-4（x-1）2+4=0;解該方程可得另一個交點為（0，0）。

如果利用交點式可知，該二次函數的對稱軸為x=1，利用其對稱性可知另一個交點坐標為（0，0）。

2.求解析式

所謂交點式即利用二次函數與橫軸交點，設x1、x2為二次函數的兩個解，形如y=a（x-x1）（x-x2）即為二次函數的交點式，x1、x2分別為二次函數與橫軸的兩個交點的橫坐標，交點坐標為A（x1，0）、B（x2，0）。由于方程式中只有一個未知數a，則帶入一個已知點坐標即可得出字母a的數值，從而確定其函數解析式。

例2：已知拋物線經過點（1，0）和（-2，7），拋物線的對稱軸為x=3，求拋物線的解析式。

一般的解題方法可以利用拋物線一般方程y=ax2+bx+c，把已知兩點的坐標代入其中可得方程組a+b+c=04a-2b+c=0-b2a=3，

解方程組可得a=13b=-2c=53

而利用交點式則可以利用對稱軸為x=3，一個點為（1，0），則另一個交點為（5，0），拋物線解析式y=a（x-1）（x-5），再將點（-2，7）代入其中即可得到a=1/3，則解析式為y=13x2-2x+53。

3.求最值

例3：用一條長為30m的繩子圍出一塊一邊靠木板的矩形空地，怎樣圍才能保證這塊空地面積最大，求其最大值。

解：設矩形的寬為x m，則矩形的面積為y m2，則平行于木板的邊長為（30-2x ）m，

則y=（30-2x）x

一般式為y=-2x2+30x

配方得y=-2（x2-15x）

y=-2（x-152）2+2252

所以在x=15/2m時，ymax=225/2。

利用交點式則可輕易解題y=（30-2x）x;

令y=0，解得x1=15、x2=0;該拋物線對稱軸為x=15/2，將其代入解析式可得ymax=225/2。

結語

數學作為基礎工具學科，在初中課程體系內占比極大。而函數作為學生數學學習的重點，掌握科學、有效的方法和思路是學習的關鍵之處。試卷中的題目不僅僅是考察學生對知識點的掌握程度，也考察了個人對知識點的理解深度。因此教師不能僅要求提高學生自主學習能力，還要拓寬其知識面，教給學生一些巧妙的解題思路和能化繁為簡的技巧。

參考文獻：

[1]杜能初.例談二次函數交點式的應用[J].讀寫算，2014.15.

[2]曾韻逸.二次函數交點式在解題中的妙用[J].課程教育研究，2014.25.