拋物線的一個幾何性質的探究與應用

【摘要】拋物線是圓錐曲線的重要組成部分。是高考的重點，也是難點。拋物線有很多幾何性質，它的幾何性質在社會生產活動和國民經濟活動中有很大的使用價值。如果掌握了這些性質，學生很容易解決有關拋物線的問題。對拋物線的一個性質加以探究并做了推廣。

【關鍵詞】拋物線 幾何性質

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）18-0-01

隨著新課程的改革和實施，拋物線幾何性質的學習對文科學生的要求有所降低，只要求掌握有關焦點弦的問題，不要求學生掌握直線與拋物線的一般關系問題。學生更深入學習拋物線的性質有很大的限制。拋物線有很多幾何性質，它的幾何性質在社會生產活動和國民經濟活動中有很大的使用價值。除了新教材上講的幾何性質外，他還有很多幾何性質。下面我對其中的一個幾何性質加以探究并推廣。

性質：直線AB經過拋物線y2 =2px （ p>0 ）的焦點F，與拋物線相交于A， 兩點。其中 A（ x1 ， y1 ） ， B（ x2 ， y2 ） ， 則A，B兩點的橫坐標之積，縱坐標之積為定值。即 ，y1 y2=-p2。

證明：直線AB的方程為x=my+，

與拋物線 y2=2 px聯立得

∴ y1 y2=-p2 .

∵ y12=2px1， y22=2 px2

∴ （y1 y2）2=4 p2 x1 x2

∴

探究：若直線AB經過拋物線 y2=2 px （ p>0）的軸上的一點P（n，0），A，B兩點的橫坐標之積，縱坐標之積是否為定值？

設直線AB的方程為 x = my + n，

與拋物線y2 =2 px聯立得

即A，B兩點的橫坐標之積、縱坐標之積為定值。

推廣：直線A，B經過拋物線 y2 =2 px （p>0）的軸上的一點P（2， 0），與拋物線相交于A，B兩點，其中 A （x1，y1），B （x2， y2） ，則A，B兩點的橫坐標之積、縱坐標之積為定值。即 x1 x2 =n2， y1 y2 =-2 pn 。

例題. 直線AB經過拋物線 y2 =2 px （p>0） 軸上的一點P（2，0），與拋物線相交于A，B兩點，并且 =0， 則拋物線的方程為______________.

分析：設 A （x1，y1）， B （x2， y2） ，則由性質的推廣可知n=2，

所以 x1 x2 =4， y1 y2 =-4 p。又因為 =0，

所以 x1 x2 + y1 y2 =0，即 4-4 p =0.所以 p=1 。

因此拋物線的方程為 y2 =2 x。

點評：性質推廣的應用可以使解題過程簡單，避免了繁雜的運算。

作者簡介：費小林（1970.5-），男，中學高級教師，大學本科，從事高中數學教學，2014年12月獲得甘肅省中小學農村骨干教師。長期擔任高三數學教學。