關于分式極限的運算規律的證明及其規律引申應用

饒紹斌

【摘要】本文運用■→0（a為任意實數）的這一性質和極限的四則運算法則以及無窮大與無窮小的關系定理，證明了分式極限■■的運算規律，以及在該規律基礎上引申了規律1和在帶有根式下的類似于分式極限運算的規律2。

【關鍵詞】分式 極限 倒數 無窮大 無窮小

【中圖分類號】O211.4 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）14-0126-01

高等教育出版社《微積分基礎教程》一書第二章中，有關于無窮小與無窮大的關系定理，以及關于分式極限的運算有這樣一個規律，內容總結如下：

定理1（關系定理）在自變量的同一變化過程中，若f（x）為無窮大，則■為無窮小；若f（x）為無窮小，則■為無窮大。

規律1（分式極限的運算規律）若a0≠0，b0≠0，且m，n為非負正數時有

■■=■，m=n0，m>n∞，m

證明：情形一：當m=n時：原極限=.■■

分子分母同時除以xn得：

■■=■■

運用■→0（a為任意實數）的這一性質和極限的四則運算法則可得：當x→∞時，■→0，…，■→0，■→0，…，■→0，所以■■=■。

情形二：當m>n時：原極限分子分母同時除以xm得：■■=■■，因為m>n，所以運用■→0（a為任意實數）的這一性質和極限的四則運算法則可得：當x→∞時，■→0，■→0，…，■→0，■→0，…，■→0故可得：

■■=0

情形三：當m

■■，因為m

規律1（次數比較規律）對于規律1，可以簡單的描述成比較分子分母的最高次數，若分母的最高次和分子的最高次數相等時，原極限等于分子分母的最高次項的系數和之比（■）；若分母的最高次數大于分子的最高次數時，原極限等于零（0）；若分母的最高次數小于分子的最高次數時，原極限為無窮（∞）。

規律2（分式極限的運算引申規律）若在規律1中極限的基礎上分別對分子和分母任意添加根號，然后觀察它分子和分母的最高次數，它仍然是滿足規律1。

例1：求■■.

解：由規律1知，該分式的分子和分母的最高次都為4次，所以■■=■.

例2：求■■.

解：由規律2可知，該式子的分子和分母的最高次數為1，注意這里的分母■轉化為次數來看的話，最高次是一次對應的系數就應該是■，分子■-x轉化成比次數來看的話，最高次也是一次，而且有兩項對應的系數分別是■和-1，所以■■=■=■.

例3：求■■.

解：由規律2可知，該式子的分子的最高次數為■次，分母的最高次數為2，所以分母的次數大于分子的次數，該極限為0，即■■=0.

參考文獻：

[1]陸永懷.極限運算在有理函數積分中的應用[J].吉首大學學報（自科版）.1992（2）：56-60

[2]侯麗.無窮大與無窮小的比較在極限運算中的應用[J].現代商貿工業.2012（15）：139-139