指數與對數函數教學的建模案例設計

賈晨

【摘要】深刻理解和掌握基本初等函數的概念和性質既是高中數學階段學習的重要要求，也是學生學習和教師講授的難點之一，將數學建模的思想融入這一部分教學，可有效提高教學習效果。本文針對指數函數、對數函數，介紹了相關數學建模案例設計，有一定的教學意義。

【關鍵詞】數學建模 指數函數 對數函數 模型設計

【中圖分類號】G642；O171-4 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）14-0129-01

一、引言

函數的定義及其性質是高中數學教學內容的重要組成部分，同時也是后續學習的必要基礎，但是函數定義的抽象性給學生學習和老師講授上述概念及性質帶來了很大的困難，因此這一部分內容也成為高中數學學習和教學的難點之一。

數學建模將數學理論知識和實際應用緊密聯系起來，是數學理論和實際應用之間的橋梁，將數學建模的思想融入函數概念與性質的教學，起到理論聯系實際的作用，能提高學生對這些抽象概念與性質的理解和掌握，是十分必要的。

而在兩者的結合上，合適的案例的選取與構造，又是決定建模思想輔助函數教學效果好壞的關鍵。已有文獻中提出了一些用以加深學生對函數定義與性質理解的數學建模案例，但這些案例大多屬于數學應用題范疇，大多數已經不是直接來自實際，而是經過了一定程度的數學建模加工得到的成品或半成品，問題的提法已經是數學化、理想化，具有條件清楚準確、不多不少、結論確定唯一、結果符合實際、不需要進一步修改和完善等特點，與數學建模有較大差別，因而在上述輔助教學方面起到的作用較為有限。本文將針對指數和對數函數，介紹相關的建模案例的設計。

二、基于數學建模思想的函數教學案例設計

（一）指數函數的模型設計

諾貝爾獎是瑞典化學家諾貝爾設立的。諾貝爾在逝世前立下遺囑，把遺產的一部分約3100萬瑞典克朗作為基金用于證券投資，投資獲利平均分成兩份，一份用于追加投資以彌補物價上漲帶來的影響，另一份用于獎勵在物理、化學、醫學和生理學、文學、世界和平方面做成巨大貢獻的人（1968年增設經濟獎）。試建立模型分析諾貝爾獎獎金的變化情況。

模型假設

1.為方便計算，紅利從頒發年份（1901）年算起。

2.假設年利率保持不變。

符號約定

y0，yn，xn，r分別表示起始本金、第n年本金、第n年利息和年利率。

模型建立

y1=y0+■=y01+■，x1=■

……

yn=yn-1+■=y01+■■，xn=■=y01+■■■

通過初始年份的獎金數據擬合得到利率r≈0.06640，代入xn即可得到任意年份獎金的數值。例如，2015年獎金值（單位：萬瑞典克朗）

. x115=y01+■■■=3100×1+■■×■=710.2

2015年，我國科學家屠呦呦與國外兩名科學家共同獲得諾貝爾生理學或醫學獎，當年諾貝爾獎獎金為800萬瑞典克朗。

模型分析與改進的教學延展

基于復利理論，建立了反映獎金變化規律的指數函數模型，數據計算結果表明該模型具有較好的可信度。 此案例可有我國數學家獲得諾貝爾獎引入，提出諾貝爾獎獎金確定問題，激發學生的學習興趣。而在模型建立過程中通過教師引導下的學生自主探索，建立復利情形下投資增長的指數函數模型，這一過程顯然能較好地幫助學術理解指數函數的概念與性質。同時，通過更合理的假設，模型可進一步改進，這可以在教師的指導下以學生小組探索的形式在課后完成。

（二）對數函數的模型設計

1981年4月，中國社會科學院考古研究所宣布，在我國新疆羅布泊地區發現樓蘭古尸，為了科學研究的需要，必須盡可能準確地估計古尸的年代。

一個可以考慮的年代估計方法是利用古尸中的碳14含量，測量結果表明女尸中碳14的剩余量為初始值的一半。而研究發現碳14經過1000年剩余量為初始值的84%。下面建立碳14揮發的數學模型，對古尸年代進行合理推測。

假設初始時刻碳14含量為1，根據揮發速度與剩余量成正比的規律，剩余量與時間具有如下關系x=e-kt，，其中t表示時間，k為揮發系數。則考慮時間和剩余量的函數關系，則有如下對關系t=-■lnx。這是一個單調遞減的對數函數，其中常數k計算如下：

碳14經過1000年剩余量為初始值的84%，計算得k=0.0001744

代入得到碳14揮發時間與剩余量的函數

t=-■

考慮女尸中碳14含量為初始值一半，即x=0.5，代入得

t（0.5）=-■ln0.5≈3974

根據模型計算結果， “樓蘭女尸”死亡時距今約4000年。

本節課從學生感興趣的“樓蘭古尸”問題出發，采用“引—導—探—歸—用—結”教學方法，內容不是老師羅列式的拋出而是通過學生思考基礎上的探索，進而建立變量之間的對數函數模型，讓學生在活動過程中掌握相關知識。

三、總結

數學建模思想融入高中函數教學，既可以有效提高函數理論的學習效果，同時也可以激發學生學習興趣，培養學生應用數學知識解決實際問題的能力。因此，開展相關問題的理論研究與實踐研究都有十分重要的意義。

參考文獻：

[1]姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]楊啟帆.數學建模[M].北京：高等教育出版社，2005.