從一道冪級數展開的習題引發的教學反思

湯燦琴 楊曉春

【摘要】本文通過一道例題對函數冪級數展開的直接法和間接法進行比較，提出了教師在教學過程中應注意比較兩種方法的微小區別。

【關鍵詞】冪級數展開 皮亞諾型余項 拉格朗日型余項

【中圖分類號】G642.1 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）12-0128-02

Reflections on Teaching Caused by an Exercise of Power Series Tang Canqin

Tang Canqin， Yang Xiaochun.（Mathematical Department， Dalian Maritime University， Liaoning Dalian 116026， China）

【Abstract】The function of power series expansion of direct and indirect methods through an example are compared in this paper， and then proposed teachers should pay attention to the difference between the two methods in the teaching process.

【Key words】Power series expansion；Piano remainder；Lagrange remainder

一、引言

冪級數是函數項級數的一種特殊情形，是數學分析中的重要概念之一，它作為基本內容被運用到復變函數、實變函數等后續課程當中。巧妙地應用冪級數展開及其相關性質，可以將實際應用中復雜問題簡單化。實際上，工程中許多問題最后都歸結為微分方程或積分方程的求解，而冪級數解法是解決這類方程問題的最有效的方法之一，冪級數展式的精確度對后續問題的研究也就產生了較大影響。因此冪級數展開是數學分析教學中著重講授的一個重要內容[1]。

二、函數的泰勒展開

通常在介紹泰勒公式時，主講教師會引導學生推出函數在處的泰勒展開式，即此時的冪級數展開。而由平移的性質，只須要求學生記住幾個基本函數的麥克勞林級數（即函數在處的冪級數展開式），如等，并應用它們推出其他函數的麥克勞林公式[1-2]。下面是一個相關的課后習題。

例：求函數的階泰勒公式。

情況1 按皮亞諾型余項展開

解法1 （直接法）

設函數，則 而

我們有從而

其中為的高階無窮小量。

解法2（間接法）

因為，從而

情況2 按拉格朗日型余項展開

解法1 （直接法）

設函數，則而

我們有從而

其中介于與0之間。

解法2 （間接法）

因為

從而

其中介于與0之間。

在此類問題的教學過程中，相信有不少任課教師與筆者一樣，通常指導學生按間接法展開，因為這種方法更為簡單高效。通過上題的兩種情形對比，我們會發現如果按皮亞諾型余項展開，無論是直接法或間接法，兩種形式是完全一樣。這是因為皮亞諾型余項是對余項的一種定性估計，它僅僅表示余項函數是的高階無窮小量，用來刻畫它的極限性質。若按拉格朗日型余項展開，細心的同學則會發現間接法和直接法展開后前面的泰勒公式是一致的，但余項卻發生了些許變化，這可能是我們教學過程中容易忽視的一個問題。為了將兩個余項區分開來，我們分別記其為和。我們知道拉格朗日型余項是對余項的定量分析，它從量的角度刻畫泰勒公式余項函數的實際大小。根據泰勒公式的唯一性，我們令，即

解出，也就是說，選取合適的能使按間接法和直接法展開的余項變成統一形式。

三、結論

冪級數的直接展開與間接展開在嚴格意義下是有些許差別的。教師在教學過程中，尤其是對數學類專業學生授課過程中，注意對此加以簡單比較分析，能更有效地處理近似計算中精確度的相關問題，培養提高學生嚴密的邏輯思維，增強學生全面分析問題的能力。

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系主編. 數學分析. 高等教育出版社. 2012.

[2]同濟大學應用數學系主編. 高等數學. 高等教育出版社. 2014.

基金項目：連海事大學教改項目2016Z09和中國交通教育研究會教育科學研究課題（交教研1602-36）資助。

作者簡介：湯燦琴（1973-），女，湖南常德人，教授，博士，主要從事調和分析、數學教育研究。