數列教學中函數思想的應用

【摘要】函數思想在研究數學問題時效果顯著。數列可以看成是一種特殊的函數，利用函數的性質研究一些數列問題，可以發現解決問題的新思路、新方法，為數列問題的研究提供新的視角。求解數列項的最值、前n項和的最值、數列的單調性以及跟數列有關的不等式問題時，都可以用函數的方法開展研究。

【關鍵詞】數列 函數思想

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）12-0144-01

一、從函數角度理解數列的概念

教材通過三角形數、正方形數的實例引入數列的概念，指出數列實際就是按照一定順序排列的一列數。數列可以看成是定義在正整數集或其有限子集{1，2，…n}上的函數，然后將數列作為一種特殊的函數，對數列表示中的列表法、圖象法、通項公式及簡單的遞推公式（解析法）也是借助于函數的研究方法進行的，實際分別對應著函數的三種表示方法。數列是一類特殊的函數，其定義域是正整數集或它的有限子集，解析式是，值域是當自變量從小到大依次取值1，2，3，…時的對應值，再次加深對函數三要素的理解。數列的通項公式可以看作是數列的函數解析式，要明確的是數列的圖象是一系列孤立的點。

二、應用函數思想掌握數列知識

在講解數列的通項公式時，舉例：如數列1，2，3，4，5，…的通項公式是，類似于正比例函數。如數列的通項公式是，類似于反比例函數。數列其通項公式，也可以寫成這兩個通項公式形式上雖然不同，但表示同一個數列。正像每個函數關系不能都用解析式表達出來一樣，也不是每個數列都能寫出它的通項公式，這種形式類似于分段函數。

三、利用例題滲透函數思想

例題：已知數列的通項公式為，其中p、q為常數，且p≠0，那么這個數列一定是等差數列嗎？判斷一個數列是否是等差數列的方法：如果數列的通項公式是關于正整數n的一次函數，那么這個數列必定是等差數列。因而把等差數列的通項公式與一次函數聯系起來。形如，一次項系數p就是這個等差數列的公差，首項是。若，是公差為0的等差數列，即為常數列。等差數列的圖象是一次函數定義在正整數集上對應的點的集合。一次函數或常函數的圖象是一條直線，而等差數列的圖象則是這條直線上的離散的點。

等差數列的增減性：當時， 是遞增數列；當時， 是遞減數列；當時， 是常數列。

在等差數列前n項和中的例題：已知等差數列的前n項和為，求使得最大的序號n的值。

分析方法一：通項公式求前幾項和最大，就是考察從哪項開始不為正。解得。也就是說因此，這個數列第8項為0對和的大小不產生影響，數列的第7項或第8項和最大。

方法二：等差數列的前n項和公式可以寫成，所以可以看成函數當x=n時的函數值。另一方面，容易知道關于n的圖象是一條拋物線上的一些點。因此，我們可以利用二次函數來求n的值。

解：由題意知，等差數列的公差為，所以

于是，當n取與最接近的整數即7或8時，取最大值。

四、總結

等差數列的前n項和公式是關于n的二次函數，但要注意這里的n屬于正整數。點是在常數項為0的二次函數圖象上。如果二次函數的對稱軸橫坐標是正整數，在頂點處取得最值；如果二次函數的對稱軸橫坐標不是正整數，在最接近對稱軸橫坐標的正整數處取得最值。

解等差數列的前n項和最大（最小）問題的常用方法有：（1）二次函數法：可用二次函數的最值來確定的最值，（2）圖象法：可利用二次函數圖象的對稱性來確定n的值，使達到最大（或最小）。用函數觀點解決等差數列的一些問題，可以起到意想不到的效果，尤其是在求最值得問題時，利用函數的圖象及性質，能使問題很容易的解決。

通過上述分析與說明，在數列的教學中，把函數概念、圖像、性質有機地融入到數列中，通過數列與函數知識的相互交匯，使學生的知識網絡得以不斷優化與完善，同時也使學生的思維能力得以不斷發展與提高。不管是數學概念的建立，數學規律的發現，還是數學問題的解決都離不開數學思想方法的培養和建立，因此，在教學中要重視發掘在數學知識產生、形成、發展和應用中所蘊含的重要思想方法，尤其是函數思想貫穿于高中整個階段，溶于數學知識的體系中，寓函數思想方法于平時的教學之中，要使學生把這種思想內化成自己的觀點并應用它來解決問題。

參考文獻：

[1]《高中數學教與學》，2011年02期.

[2]《中學教學參考》，2012年20期.

作者簡介：李文婷（1981.8-），女，漢族，烏魯木齊人，烏魯木齊市第九中學，理學學士，一級教師，從事高中數學教學工作。