如何在高中數(shù)學(xué)課程中開(kāi)展空間向量教學(xué)

吳飛鵬

【內(nèi)容摘要】向量在以往的高中數(shù)學(xué)中是沒(méi)有的，它是在近幾年才引入的。向量分為空間向量和平面向量。顧名思義，平面向量用于平面幾何的問(wèn)題解決中，而空間向量可用來(lái)解決例題幾何中的問(wèn)題，對(duì)于一些相對(duì)難度較大的立體幾何問(wèn)題，空間向量的使用往往能起到很大的幫助。很多的學(xué)生都對(duì)空間幾何有抵觸情緒，在此情況下，引入空間向量，不失為一種好的教學(xué)方法。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 空間向量

一、注重空間向量性質(zhì)及運(yùn)用時(shí)的數(shù)形結(jié)合

1.空間向量的代數(shù)性質(zhì)

空間向量具有代數(shù)的性質(zhì)，它的這種性質(zhì)的基礎(chǔ)就是運(yùn)算[1]。由于運(yùn)算是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的基礎(chǔ)，觀察與學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，就這個(gè)方向來(lái)講，指導(dǎo)學(xué)生對(duì)空間向量的代數(shù)性質(zhì)進(jìn)行把握，并不是一件困難事。在進(jìn)行空間向量代數(shù)性質(zhì)的教學(xué)中，教師需要注意教學(xué)的重點(diǎn)在于運(yùn)算意義的理解和運(yùn)算性質(zhì)。學(xué)生必須理解運(yùn)算意義的主要原因是，為之后在集合解題過(guò)程的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)，向量正如它的名稱(chēng)所示，它是一段有向線(xiàn)段，同時(shí)兼具長(zhǎng)度以及方向兩個(gè)因素，不論是兩個(gè)向量相加，還是給向量乘上一個(gè)數(shù)，這時(shí)它們所代表的含義并非與通常含義上的加減乘除運(yùn)算一樣。舉例來(lái)說(shuō)，我們給一個(gè)既定的向量乘上一個(gè)常數(shù)n，此時(shí)它所代表的含義并不僅僅是把這個(gè)數(shù)擴(kuò)大n倍，它實(shí)際的含義更為復(fù)雜，它此時(shí)指的是另一條線(xiàn)段，而這條新的線(xiàn)段比原來(lái)有向線(xiàn)段長(zhǎng)n-1倍。據(jù)此，我們可以指導(dǎo)，向量的運(yùn)算意義并不是和代數(shù)的運(yùn)算意義一致，它顯得更為復(fù)雜。如果學(xué)生不能很好的把握向量運(yùn)算的這一性質(zhì)，就會(huì)存在理解的偏差，在以后進(jìn)行數(shù)行學(xué)習(xí)的過(guò)程中必然會(huì)導(dǎo)致思維的混亂，影響向量對(duì)于立體幾何問(wèn)題解決積極性的發(fā)揮[2]。

有上述可知，空間向量和代數(shù)運(yùn)算的意義是不一致的，與此相對(duì)應(yīng)，空間向量的運(yùn)算律也具有獨(dú)特的含義。空間向量的運(yùn)算律是簡(jiǎn)化解題過(guò)程的關(guān)鍵點(diǎn)，教師應(yīng)將其作為空間向量教學(xué)的重點(diǎn)。另外，需要注意的是，空間向量的使用范圍十分廣，因此運(yùn)算律以及運(yùn)算性質(zhì)的數(shù)量十分可觀，教師在進(jìn)行運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)的教學(xué)過(guò)程中，不能急于求成，注意循序漸進(jìn)的教學(xué)原則[3]。向量滿(mǎn)足的運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)十分多，距離來(lái)說(shuō)，其數(shù)量積滿(mǎn)足交換律、分配率、結(jié)合律，任意的一個(gè)向量a，加上0向量后沒(méi)有任何的變化，還等于它本身；任意一個(gè)向量和乘以0向量都等于0向量，等等。向量的性質(zhì)十分多，而且十分雜，但是這些性質(zhì)對(duì)于解決立體或者平面幾何中的問(wèn)題都十分重要，教師在進(jìn)行空間向量教學(xué)時(shí)，可以適當(dāng)?shù)膶⑵湟朐诹Ⅲw幾何中，加深學(xué)生對(duì)空間向量認(rèn)識(shí)的同時(shí)，為今后的立體幾何的空間向量教學(xué)埋下伏筆。

2.空間向量的幾何性質(zhì)

空間向量除了具有代數(shù)性質(zhì)之外，還具有幾何性質(zhì)，它的幾何性質(zhì)對(duì)于后續(xù)的學(xué)習(xí)應(yīng)用十分重要。例如兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，進(jìn)行線(xiàn)性組合后就可以確定一個(gè)平面可，使得幾何的平面和向量之間可以很好的連接在一起。存在十分多這種例子，例如如果向量a和向量b相乘，其結(jié)果為0的話(huà)，a向量和b向量一定是垂直關(guān)系。在進(jìn)行空間幾何的有關(guān)問(wèn)題解決時(shí)，皆可以說(shuō)會(huì)用空間向量的這個(gè)性質(zhì)，進(jìn)而十分輕易的證明垂直位置關(guān)系。如果想要將三角函數(shù)和向量聯(lián)系在一起，借助向量的幾何性質(zhì)就可以十分輕松的實(shí)現(xiàn)。在進(jìn)行空間向量的教學(xué)中，使學(xué)生更加全面的理解和掌握空間向量，不僅能夠幫助學(xué)生更好的學(xué)習(xí)立體幾何，也可以減輕教師進(jìn)行立體幾何教學(xué)時(shí)的壓力。

二、面對(duì)具體問(wèn)題時(shí)應(yīng)注重靈活選擇

在進(jìn)行空間向量的學(xué)習(xí)中，最主要的目的就是讓學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)靈活的使用[4]。但是，由于空間向量的運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)十分多，因此在進(jìn)行立體幾何的解題時(shí)，難免會(huì)產(chǎn)生選擇問(wèn)題，另外，空間向量的主要應(yīng)用范圍就是立體幾何解題中，而在立體幾何中，它本身也有很多的解題方法，這更是將學(xué)生的選擇范圍擴(kuò)大，增加學(xué)生選擇的難度。如何選擇最為適當(dāng)?shù)姆绞竭M(jìn)行解題是教學(xué)的關(guān)鍵。

舉例來(lái)說(shuō)：在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1=8，AD=AB=6，BC的中點(diǎn)是E。求異面直線(xiàn)AD1與B1E所成的角。

在這道幾何題中，很多學(xué)生都會(huì)使用立體幾何的性質(zhì)進(jìn)行解題，具體來(lái)說(shuō)，可以將AD1平移到BCB1C1平面，然后在使用角度關(guān)系來(lái)求出AD1與B1E所成的角。但是這道題中有一個(gè)特點(diǎn)，具有一些十分具體的數(shù)據(jù)，因此也可以使用空間向量的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解。

這就是解題的靈活性，以往解決立體幾何的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般都是用立體幾何的有關(guān)性質(zhì)解題，但是空間向量的應(yīng)用可以為學(xué)生解題提供更多的思路。但是也面臨著選擇的困難，尤其是在考試中，有時(shí)間的限制，如果將大把的時(shí)間糾結(jié)于解題方法上，將會(huì)得不償失。因此，學(xué)生在利用空間向量的過(guò)程中，一定要靈活，選擇最為恰當(dāng)?shù)慕忸}方法。為此，教師在日常的教學(xué)中，要盡可能多的為學(xué)生展示不同題型的適用方式。

但是，一些十分困難和復(fù)雜的立體幾何中，可以需要同時(shí)運(yùn)用空間向量和幾何解析法，這是要注意兩種方法的結(jié)合和轉(zhuǎn)化[5]。針對(duì)這種情況，學(xué)生的思維轉(zhuǎn)化能力要比較高，但是大部分學(xué)生的思維轉(zhuǎn)化能力一般，在這樣的學(xué)情基礎(chǔ)上，教師需要教導(dǎo)學(xué)生先使用幾何分析法，尋找題目中的已知條件和幾何關(guān)系，然后根據(jù)空間向量的有關(guān)性質(zhì)，將所有的關(guān)系式列出，找到下一步的條件，然后在進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算。這樣可以將問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，即使學(xué)生的思維轉(zhuǎn)化一般，這種方式也十分有利。在進(jìn)行問(wèn)題的求解時(shí)，使用空間向量法來(lái)解題，使用不同的公式或者方法，會(huì)使提的難易程度不一樣。

教師講授空間向量課程是時(shí)，學(xué)生的思維習(xí)慣的培養(yǎng)十分重要，空間向量所涉及的問(wèn)題主要就是幾個(gè)主要方面。基于此，教師可以根據(jù)這些方面進(jìn)行題型種類(lèi)的劃分，根據(jù)不同的題型種類(lèi)使學(xué)生進(jìn)行定量練習(xí)，使其形成習(xí)慣性的解題思路，在進(jìn)行考試時(shí)，能夠在有限的時(shí)間中，根據(jù)自己的解題習(xí)慣，對(duì)相應(yīng)的題目產(chǎn)生條件反射，進(jìn)而快速的解題，節(jié)省時(shí)間。

（作者單位：江蘇省淮北中學(xué)）