時標上障礙帶條件下p-Laplacian方程兩點邊值問題解的存在性

，(山東科技大學 數學與系統科學學院，山東 青島 266590)

常微分方程是伴隨著微積分的產生和發展而逐漸成長起來的一門歷史悠久的學科。在數學學科內部的許多分支中，常微分方程是常用的重要工具之一。由于應用領域的不斷擴大和新理論生長點的不斷涌現，這一古老學科的發展至今仍充滿著生機與活力。微分方程邊值問題是一個微分方程和一組邊界條件形成的方程組，邊值問題的解通常是符合約束條件的微分方程的解。在物理學、生物學等中都經常遇到邊值問題，例如波動方程等。

常微分方程邊值問題是微分方程研究領域中一個十分重要而熱門的話題。早在1994年，Kelevedjiev[1]運用Leary-Schauder原理討論了障礙帶條件下非線性二階兩點邊值問題x′′(t)=f(t,x(t),x′(t)),t∈(0,1)分別在Dirichlet邊界條件x(0)=A,x(1)=B、Neumann邊界條件x(0)=A,x(1)=B以及混合邊界條件x(0)=A,x′(1)=B、x′(0)=A,x(1)=B下解的存在性問題，得出了函數f在滿足一類符號條件下解的存在性定理。

在時標理論未出現前，一些連續變化的現象或過程可以用微分方程去刻畫；對于某些離散的現象或變化過程，則用差分方程去描述，但對于一些既包括連續又包括離散狀態的數學模型卻無從下手。時標理論提供了一種研究實際生活中許多沒有規律現象的新方法，時標理論的出現，引起眾多學者的關注和研究。結合時標理論，Ma和Luo[3]運用Leary-Schauder原理及時標上函數的相關性質，并運用截斷函數的技巧，結合文獻[1]中所用方法研究了時標上邊值問題

xΔΔ(t)=f(t,x(t),xΔ(t))，t∈[0,1]T，x(0)=0，xΔ(σ(1))=0

解的存在性。若將時標T取為實數集R，即為文獻[1]中所研究的Dirichlet問題。

2014年，Ma等[4]運用拓撲橫截定理研究了障礙帶條件下φ-Laplace方程兩點邊值問題

(φ(u′))′=f(t,u,u′)，t∈(0,1)，u(0)=A，u′(1)=B

解的存在性，該文用更一般的增算子代替了p-Laplace算子，若是用p-Laplace算子作用，便是本文將時標T推廣到實數集R的特殊情況。另外，對于不同邊值條件下解的存在性，還可以運用不動點定理、拓撲度方法、上下解方法和非線性泛函分析等方法來研究，具體可以參考文獻[5-8，11-20]。

受以上文章的啟發，本文研究時標上障礙帶條件下一類p-Laplace方程兩點邊值問題

(φp(xΔ(t)))Δ=f(t,x(t),xΔ(t))，t∈(0,1)，

(1)

x(0)=xΔ(σ(1))=0，

(2)

或者

xΔ(σ(0))=x(1)=0，

(3)

1 預備知識

時標T是指實直線R上的一個非空子集，當T取R時，時標T上的微分方程邊值問題即是常微分方程邊值問題。

定義1對t∈T，規定infφ=maxT。定義前跳躍算子σ：T→T為

σ(t)=inf{τ>t|τ∈T}。

對t∈T，設supφ=minT，定義后跳躍算子ρ:T→T為

ρ(t)=sup{τ

當σ(t)>t時，稱t是右離散的:當σ(t)=t時，稱t是右稠密的。同樣，當ρ(t)

T上的子集TK，TK分別定義為：如果T有左離散的最大值t1，則TK=T-{t1}，否則TK=T；如果T有右離散的最小值t2，則TK=T-{t2}，否則TK=T。

T上的開區間(a,b)定義為(a,b)={t∈T|a

定義1.2設f：T→R，t∈TK。如果有R中的數fΔ(t)，使得對?ε>0，存在t的一個鄰域U，使得對所有的s∈U，都有

|f(σ(t))-f(s)-fΔ(t)(σ(t)-s)|≤ε|σ(t)-s|，

則稱fΔ(t)為f在t點的Δ-導數。若對所有的t∈TK，fΔ(t)都存在，稱f在TK上是Δ-可導的。

定義1.3若恒有FΔ(t)=f(t)，t∈TK，則Δ-積分定義為

引理1.1[9]設f：T→R，t∈TK，則以下各條成立：

1)如果fΔ(t)存在，則f在t點處連續；

4)如果fΔ(t)存在，則

f(σ(t))=f(t)+(σ(t)-t)fΔ(t)。

引理1.2[10]設X,Z為實向量賦范線性空間，L:domL?X→Z是一個指標為0的Fredhoml算子。假定Ω?X是有界開子集，N：Ω→Z是一個L-緊算子。如果kerL={0}，0∈Ω且對所有的(u,λ)∈(domL∩?Ω)×(0,1)，

Lu-λNu≠0，

2 主要結果

定理2.1設f：[0,σ(1)]×R→R連續，L：D→C[0,1]，Lx=(φp(xΔ(t)))Δ，若存在常數C使得對邊值問題

Lx(t)=λf(t,x(t,),xΔ(t))，t∈(0,1)，x∈D，λ∈(0,1)

(2.1)

證明：首先，證明L是一一映射。在邊值條件(1.2)下，由Lx=0可得到x(t)≡0，即kerL={0}。因此L是一一映射。令N:C2[0,σ2(1)]→C[0,1]，G:C[0,1]→C2[0,σ2(1)]，且

(Nx)(t)=f(t,x(t),xΔ(t))，t∈[0,σ(1)]，

，

則LGy=y，y∈C[0,1]，GLx=x，x∈D，于是GL是零指標的Fredholm映射。從而得出GN:C2[0,σ2(1)]→C2[0,σ2(1)]是GL緊映射。

定理2.2設f:[0,σ(1)]×R2→R連續，假設存在Li，i=1,2,3,4，滿足L2>L1≥0，L3

f(t,u,p)≥0， (t,u,p)∈[0,1]×R×[L1,L2]，

(2.2)

f(t,u,p)≤0， (t,u,p)∈[0,1]×R×[L3,L4]，

(2.3)

則問題(1.1)，(1.2)在C2[0,σ2(1)]中至少有一個解。

證明：考慮同倫族問題

(φp(xΔ(t)))Δ=λf(t,x(t),xΔ(t))，t∈[0,1]，

(2.4)

x(0)=xΔ(σ(1))=0。

(2.5)

由定理2.1知，若(2.4)，(2.5)的所有可能解x在C2[0,σ2(1)]中有一個不依賴于λ∈(0,1)的先驗界，則問題(1)，(2)在C2[0,σ2(1)]中有解。

首先估計xΔ(t)的范數。假設集合

S0={t∈[0,σ(1)]|L1

S1={t∈[0,σ(1)]|L3≤xΔ(t)

(2.6)

則由xΔ(t)的連續性可知，可取t0∈(t0,1]∩S0，但對t∈S0，有

(φp(xΔ(t)))=λf(t,x(t),xΔ(t))≥0，

所以有

即

xΔ(t)≥xΔ(t0),t∈(t0,1]。

特別地，xΔ(σ(1))≥xΔ(t0)>L1≥0，這與邊值條件xΔ(σ(1))=0矛盾。所以S0=?。同理可證S1=?。

結合xΔ(σ(1))=0以及xΔ(t)的連續性可知

|xΔ(t)|0≤C，t∈[0,σ(1)]，

(2.7)

其中C=max{|L1|,|L4|}。

另一方面，由式(2.7)知

對t=σ2(1)，

x(σ2(1)) =x(σ(1))+xΔ(σ(1))(σ2(1)-σ(1))

≤L1σ(1)+L1(σ2(1)-σ(1))

=L1(σ2(1))，

x(σ2(1)) =x(σ(1))+xΔ(σ(1))(σ2(1)-σ(1))

≥L4σ(1)+L4(σ2(1)-σ(1))

=L4(σ2(1))，

從而有

L4(σ2(1))≤x(t)≤L1(σ2(1))，t∈[0,σ2(1)]。

綜上可得

|x|0≤Cσ2(1)，t∈[0,σ2(1)]。

類似的，可得如下定理：

定理2.3設f:[0,σ(1)]×R2→R連續，假設存在Li，i=1,2,3,4，滿足L2>L1≥0，L3

f(t,u,p)≤0， (t,u,p)∈[0,1]×R×[L1,L2]，

f(t,u,p)≥0， (t,u,p)∈[0,1]×R×[L3,L4]，

則問題(1)，(3)在C2[0,σ2(1)]中至少有一個解。

3 例子

考慮如下邊值問題

(φp(xΔ(t)))=(xΔ(t))2-5xΔ(t)+4，t∈[0,1]，

x(0)=xΔ(σ(1))=0，

參考文獻：

[1]KELEVEDJIEV P.Existence of solutions for two-point boundary value problems[J].Nonlinear Analysis,1994,22(2):217-224.

[2]KELEVESJIEV P,BOJERIKOV S.On the solvability of a boundary value problem forp-Laplacian differential equations[J].Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations,2017(8):1-9.

[3]MA R,LUO H.Existence of solutions for a two-point boundary value problem on time scales[J].Applied Mathematics and Computation,2004,150(1):139-147.

[4]MA R,ZHANG L,LIU R.Existence results for nonlinear problems withφ-Laplacian[J].Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations,2015(22):1-7.

[5]KELEVEDJIEV P S,TERSIAN S A.The barrier strip technique for a boundary value problem withp-laplacian[J].Electronic Journal of Differential Equations,2013(28):1-8.

[6]GOODRICH C S.The existence of a positive solution to a second-order delta-nablap-Laplacian BVP on a time scale[J].Applied Mathematics Letters,2012,25(2):157-162.

[7]BAI Z,SUN W,ZHANG W.Positive solutions for boundary value problems of singular fractional differential equations[J].Abstract and Applied Analysis,2013(11):5545-5550.

[8]WANG D,GUAN W.Multiple positive solutions for third-orderp-Laplacian functional dynamic equations on time scales[J].Advances in Difference Equations,2014(1):242.

[9]GARWAL R P,BOHNER M.Basic calculus on time scales and some of its applications[J].Results in Mathematics,1999,35(1/2):3-22.

[10]BAI Z,LIANG X,DU Z.Triple positive solutions for some second-order boundary value problem on a measure chain[J].Computers & Mathematics with Applications,2007,53(12):1832-1839.

[11]武華華,孫蘇菁.基于變分方法的四階邊值問題的多重正解[J].山東科技大學學報(自然科學版),2014,33(2):96-99.

WU Huahua,SUN Sujing.Based on the variational method of the Mmultiple positive solutions for a fourth-order boundary value via variation method[J].Journal of Shandong University of Science and Technology (Natural Science),2014,33(2):96-99.

[12]董曉玉,白占兵,張偉.具有適型分數階導數的非線性特征值問題的正解[J].山東科技大學學報(自然科學版),2016,35(3):85-91.

DONG Xiaoyu,BAI Zhanbing,ZHANG Wei.Positive solutions for nonlinear eigenvalue problems with conformable fractional differential derivatives[J].Journal of Shandong University of Science and Technology (Natural Science),2016,35(3):85-91.

[13]趙聰,崔玉軍.非線性四階兩點邊值問題的單調迭代[J].山東科技大學學報(自然科學版),2016,35(6):108-113.

ZHAO Cong,CUI Yujun.Monotone iterative technique for nonlinear four-order two point boundary value problem[J].Journal of Shandong University of Science and Technology (Natural Science),2016,35(6):108-113.

[14]秦偉.障礙帶條件下四階三點邊值問題解的存在性[J].山東科技大學學報(自然科學版),2008,27(3):96-101.

QIN Wei.The existence of solutions for fourth-order three-point BVPs under the barrier strips conditions[J].Journal of Shandong University of Science and Technology (Natural Science),2008,27(3):96-101.

[15]ATICI F M,GUSEINOV G S.On Greens functions and positive solutions for boundary value problems on time scales[J].Journal of Computatioal and Applied Mathematics,2002,141(1):75-99.

[16]LIU Y J.Non-homogeneous boundary-value problems of higher order differential equations withp-Laplacian[J].Electronic Journal of Differential Equations,2008 (20):359-370.

[17]KELEVEDJIEV P S,TERSIAN S A.The barrier strip technique for a boundary value problem withp-Laplacian[J].Electronic Journal of Differential Equations,2013(28):291-331.

[18]DAI G W,MA R Y.Unilateral global bifurcation phenomena and nodal solutions forp-Laplacian[J].Journal of Differential Equations,2012,252(3):2448-2468.

[19]BEREANU C,GHEORGHE D,ZAMORA M.Non-resonant boundary value problems with singular φ-Laplacian operators[J].Nonlinear Differential Equations and Applications,2013,20(3):1365-1377.

[ 20]馬如云.非線性常微分方程非局部問題[M].北京:科學出版社,2004.