連續正奇異線性系統正性判定的一種新方法

，， (山東科技大學 數學與系統科學學院，山東 青島 266590)

奇異系統，又被稱為廣義系統、隱式系統、微分-代數系統或半狀態系統，是一類由微分及代數方程綜合描述的系統，廣泛應用于Leontief經濟模型[1]、神經網絡模型[2]和紐曼模型[3]等實際系統中。近年來，由于自然界中許多模型可以用正奇異系統(狀態變量為非負的奇異系統)來描述，如人口模型、電費管理模型、液體體積模型等，正奇異系統引起了學者們的廣泛關注。文獻[4-12]對正系統的基本問題進行了充分的研究，如可控性、客觀性、可達性等。相比較而言，學者們對正奇異系統的研究較晚，包括連續正奇異系統和離散正奇異系統在內的主要研究成果見文獻[13-19]。在正奇異系統的正性分析中，文獻[13]主要給出了分析離散正奇異系統正性和可達性的充要條件；文獻[14-15]通過分析廣義Lyapunov方程解的半正定性給出了在離散時間和連續時間狀態下刻畫正奇異系統正性和穩定性的充要條件；文獻[16]在沒有不必要的先驗條件下，給出了判斷連續正奇異系統正性和穩定性的充要條件，并首先提出了用線性規劃方法來分析系統的正性和穩定性；文獻[17]在沒有不必要假設的前提條件下，給出了分析離散正奇異系統正性和穩定性的充要條件，以及基于線性規劃的數值算法；文獻[18-19]給出了離散正奇異系統存在一個狀態反饋，使閉環系統是非負的、穩定的、正則的條件。基于上述研究基礎，給出了一種新的刻畫連續正奇異系統正性的線性規劃方法，該方法沒有不必要的先驗條件，理論上簡單易懂，可行性好，結果清晰明了，能提高系統正性分析的效率。

文中符號的具體說明如下：Rn表示n維實向量空間，Rn×n表示n×n維實矩陣的集合，C表示復數集，Cm×n表示m×n維復數矩陣的集合，AD表示矩陣A的Drazin逆，A-1表示矩陣A的逆，A>0(≥0)表示矩陣A的所有元素aij是正的(非負的)，AT表示矩陣A的轉置，rank(A)表示矩陣A的秩，I表示單位矩陣，vec(A)表示矩陣A的拉直算子，im(P)表示矩陣P的逆像。

1 簡介

考慮時不變齊次奇異系統：

(1)

其中E,A∈Rn×n為系統狀態矩陣，x(t)∈Rn為系統狀態向量，rank(E)

定義1.1[20]設A∈Rn×n且ind(A)=k，存在唯一矩陣X∈Rn×n，滿足

AX=XA，XAX=X，XAk+1=Ak。

其中k表示使rank(Ak)=rank(Ak+1)成立的最小非負整數，則X是A的Drazin逆，記作AD。

根據文獻[21]，任意矩陣A都可化為下列Jordan標準型：

(2)

其中，M為可逆矩陣，N為冪零矩陣。則矩陣A的Drazin逆可表示為：

(3)

定義1.2[15]E,A∈Rn×n，存在λ∈C，使得det(λE-A)≠0，則稱矩陣對(E,A)是正則的。

定理1.3[17] 如果(E,A)是正則的，則系統(1)的解可表示為：

(4)

1)P是冪等矩陣(例P2=P);

3) 對于系統(1)的任意解x(t)，有Px(t)=x(t)成立。

推論1.5根據定理1.3可知，系統(1)和系統(5)是等價的。

(5)

x(0)∈im(P)。

定理1.6[22]考慮方程組AXB=D，設矩陣A∈Cm×n，B∈Cs×r，D∈Cm×r，未知矩陣X∈Cn×s，則vec(D)=vec(AXB)=(BT?A)vec(X)。

2 正性分析

定義2.1[16]如果對于給定的任意非負可容許初始條件x(0)≥0，有x(t)≥0(t≥0)，則稱系統(5)是正系統。

定義2.2[23]A=[aij]∈Rn×n，若aij≥0(i≠j)，則矩陣A是Metzler矩陣。

定理2.3用A=[aij]∈Rn×n表示n×n維的實矩陣，用M=[mp,q]∈Rn2×n2表示n2×n2維的實矩陣。定義M矩陣：

M={mp,q|p≠q:mp,q=0.p=q:m1+(n+1)(j-1),1+(n+1)(j-1)=0,mi+n(j-1),i+n(j-1)=1(i≠j).}

其中，i,j∈[1,2,…,n]，p,q∈[1,2,…,n2]。若矩陣A滿足M×vec(A)≥0，則A為Metzler矩陣。

注：當A=[aij]∈R1×1時，A不存在非對角線元素，不予考慮。

例如，當矩陣A的維數為2時：i,j∈[1,2]，p,q∈[1,2,3,4]。則M∈R4×4，由不等式組M×vec(A)≥0，即

可得a2≥0，a3≥0，即矩陣A的非對角線元素非負。由定義2.2可知，矩陣A為Metzler矩陣。

當矩陣A的維數為3時：i,j∈[1,2,3]，p,q∈[1,2,…,9]。則M∈R9×9，由不等式組M×vec(A)≥0可得

由此，a2≥0，a3≥0，a4≥0，a6≥0，a7≥0，a8≥0，即矩陣A的非對角線元素非負。由定義2.2可知，矩陣A為Metzler矩陣。

證明：充分性：A=[aij]∈Rn×n，M=[mp,q]∈Rn2×n2。根據定義2.2可知，判斷矩陣是否為Metzler矩陣，只需分析其非對角線元素即可。而向量vec(A)的第i+n(j-1)(其中i≠j)個元素即為矩陣A的非對角線元素，只需左乘一個第i+n(j-1)(其中i≠j)個元素為1的單位行向量mi+n(j-1)，使mi+n(j-1)·vec(A)≥0成立，則有矩陣A為Metzler矩陣。

必要性：根據上文分析，若矩陣A為Metzler矩陣，則有mi+n(j-1).vec(A)≥0成立，即M×vec(A)≥0。

根據正奇異系統的解的表達式、正系統的定義以及引理2.5，有下列結論成立。

證明：充分性：令x(0)=Pv0，由定理1.3可得

[x(0)=Pv0=Ps(0)≥0]?[x(t)=Ps(t)≥0,?t≥0]。

定理2.7定義矩陣M=[mp,q]∈Rn2×n2，

M={mp,q|p≠q:mp,q=0.p=q:m1+(n+1)(j-1),1+(n+1)(j-1)=0,mi+n(j-1),i+n(j-1)=1(i≠j).}

其中，i,j∈[1,2,…,n]，p,q∈[1,2,…,n2]，n為系統狀態矩陣的維數。

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(I) 證明(8)、(9)式成立。

(i) 將矩陣方程組的求解問題轉化為線性方程組的求解問題。

Dx=b。

(11)

的求解問題。其中，

(ii) 將方程組(11)的求解問題轉化為線性規劃問題

(7)

(iii) 證明上述事實(ii)

(12)

接下來用反證法證明x0是方程組(11)的解。假設存在向量x*是方程組(11)的解，則有s(x*)

(13)

(14)

這與y0是線性規劃(7)、(8)和(9)的解相矛盾。

最后證明等式(15)成立。

(15)

類似地，又可證得

(Ⅱ) 證明(10)式成立。

式(10)可轉化為M×vec(H)≥0的形式。由定理2.3可得，若矩陣A滿足M×vec(A)≥0，則A為Metzler矩陣。

至此，命題得證。

3 數值例子

例1[16]考慮具有如下參數矩陣的時不變齊次正奇異系統

根據定理2.7可得，

(16)

由MATLAB中的Linprog函數可得：

例2[16]考慮具有如下參數矩陣的時不變齊次正奇異系統

根據定理2.7可得，

(17)

圖1 例1系統狀態軌線圖Fig.1 The trajectory of states about example 1

圖2 例2系統狀態軌線圖Fig.2 The trajectory of states about example 2

例3[16]考慮具有如下參數矩陣的時不變齊次正奇異系統

根據定理2.7可得，

(18)

由Linprog函數可求得：

例4[16]考慮具有如下參數矩陣的時不變齊次正奇異系統

根據定理2.7可得，

(19)

由Linprog函數可求得：

圖3 例3狀態軌線圖Fig.3 the trajectory of states

圖4 例4狀態軌線圖Fig.4 the trajectory of states

4 結論

主要研究了連續正奇異系統的正性的判定方法。一方面利用Metzler矩陣的非負性約束給出了判斷Metzler矩陣的充要條件，另一方面在文獻[16]的基礎上結合Drazin逆和矩陣拉直算子的相關性質，利用最小絕對差給出了一種新的判定連續正奇異系統正性的線性規劃方法。同傳統方法相比，該方法簡單且易于數值實驗，數值實驗表明，上述理論方法是正確可行的，在降低理論復雜度的同時，提高了系統正性分析的效率。

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