基于巴西劈裂試驗的混凝土細觀本構模型參數估計方法

， ，志云(. 大連理工大學 工業裝備結構分析國家重點實驗室，遼寧 大連 604；. 大連海洋大學 海洋與土木工程學院，遼寧 大連 603)

混凝土材料通常指由水泥為膠凝材料，砂、石作骨料，與水(可含外加劑和摻合料)按一定比例配合，經攪拌而得的水泥混凝土。在土木工程結構中，混凝土材料得到了大量的應用，其抗拉能力比抗壓能力弱很多，然而在一些極端情況下，混凝土材料可能會承受較大的拉力從而引起結構破壞。巴西劈裂試驗是測定巖石類材料抗拉強度的方法之一，也是國際巖石力學學會(international society for rock mechanics, ISRM)[1]和美國材料試驗學會(american society for testing and materials, ASTM)[2]推薦的測量巖石材料抗壓強度的試驗方法。由于混凝土與巖石力學性能相近，有許多學者利用巴西劈裂試驗測量混凝土的抗拉強度[3-6]。Cundall和Strack于20世紀70年代基于牛頓第二定律提出了離散單元法(discrete element method, DEM)的概念。相比基于連續介質力學的有限單元法，離散單元法對于模擬混凝土的開裂、裂紋擴展等大變形有一定的優勢。Qin等[7]基于質點單元法，建立了不同應變率下混凝土骨料、砂漿和界面三相細觀動力學模型，研究表明應變率越高，網狀裂紋產生的越多，試樣的力鏈產生更多分支，意味著在更高的應變率下需要更多的能量達到失效。Ghazvinian等[8]用PFC2D模擬了含非貫通節理的巖石材料的剪切特性，離散元模擬表明宏觀剪切帶是張拉破壞產生的微裂紋擴展引起的。Mechtcherine等[9]介紹了用離散單元法模擬混凝土流動領域的發展，給出了參數估計的各種例子并與試驗結果進行了比較，顯示出離散單元法的潛力。Pan等[10]用PFC2D建立了混凝土三相細觀模型，進行了單軸壓縮試驗來研究堿集料反應對混凝土力學性能的影響，結果表明這一模型可以有效預測堿集料反應引起的混凝土內部微裂紋的擴展。Kazerani等[11]提出了一個檢驗巖石強度和失效的離散元模型，兩個相鄰顆粒的邊界被視為柔性接觸，其本構關系控制材料的斷裂性能，基于單軸/三軸壓縮和巴西劈裂試驗提出一套細觀參數并對比試驗結果驗證了方法的有效性。

離散元單元法與有限單元法相比，最大的區別是不可能通過直接賦值的形式實現對材料的宏觀基本物理力學參數的確定，僅取決于顆粒的細觀本構模型參數。離散元只可以直接賦值顆粒的幾何特征(顆粒大小和分布)和顆粒間接觸的細觀力學參數(細觀本構模型和剛度、摩擦系數等接觸力學特征)，這些細觀參數的改變意味著材料的宏觀力學特性的顯著改變。而如何定量確定混凝土材料離散元模型的細觀參數是制約該方法進一步深入研究和工程實際應用的瓶頸問題之一。混凝土骨料粒徑經常是毫米量級的，在該尺度上直接測量其細觀參數是極其困難的，通用的方法是試錯法(hit-and-miss)，即不斷調整細觀參數反復計算直到獲得一組與宏觀響應吻合較好的細觀參數。然而這樣的方法往往存在著參數調整缺乏方向性和目的性等問題，造成效率低下。本研究提出一種基于巴西劈裂試驗的混凝土細觀本構模型參數估計方法，即先建立試驗件離散元模型，給出一組細觀參數估計值，接下來分別改變每個細觀參數的取值，利用線性回歸確定每個細觀參數對宏觀變量的影響系數，進而確定試樣的最大承載力及其對應的最大位移與細觀參數間的關系，求解一個約束優化問題，即可求得一組計算結果與實際試驗曲線較為接近的細觀參數。該方法的主要優勢是只使用一組試驗數據并進行少量PFC2D計算，即可得到一組滿足工程需求的細觀參數。

1 PFC2D中的細觀本構模型

在某一時刻，PFC2D程序根據牛頓第二定律確定顆粒的加速度，并通過差分法得到顆粒在這一時刻的位移。而將力和位移聯系起來使計算能夠循環進行下去的關鍵條件，就是細觀本構模型。PFC2D中常用的細觀本構模型主要有三種：一是接觸剛度模型，主要描述顆粒相互接觸運動時法向和切向的擠壓力；二是滑移模型，主要描述顆粒間存在相互滑動趨勢時的力學行為；三是粘結模型，主要描述黏性顆粒的抗拉和抗剪能力。接觸剛度模型中，常用的是線性接觸模型，利用接觸的法向剛度Kn和切向剛度Ks兩個參數將顆粒間的法向、切向力和重疊量聯系起來。

(1)

(2)

其中：ξ={n,s}，n,s分別表示法向和切向。滑移模型可以表示為

(3)

對于PFC2D中的接觸剛度模型和平行粘結模型，都可以視為兩顆粒及連接其圓心的彈性梁組成的系統[12]。設彈性梁的彈性模量為Ec(接觸彈性模量)，由彈性力學解可得

kn=2Ect。

(4)

對于混凝土材料而言，目前并沒有明確的標準規定采用哪些細觀本構模型來進行計算，表1列出的是不同學者研究混凝土問題時所采用的細觀模型參數。

表1 某些材料的細觀本構模型參數取值Tab.1 Microparameters of micro-constitutive model for some materials

注:n_bond和s_bond分別為接觸粘結模型抗拉和抗剪強度

2 混凝土細觀本構模型參數估計方法

巴西劈裂試驗主要用來測試巖石材料的抗拉強度，通常是根據彈性力學解由試樣的最大承載力求得其抗拉強度。試樣在破壞前處于彈性變形階段，其荷載-位移曲線呈一近似直線。本研究主要目的是尋找一組合適的細觀參數使仿真得到的試樣宏觀力學響應與試驗結果吻合，因此重點關注試樣的最大承載力Fmax和其對應的最大位移dmax。宏觀響應與細觀參數之間存在著一定的函數關系，通常情況下，這些函數關系難以顯式表達出來，因此也就無法直接利用宏觀響應確定細觀參數取值。為簡化這些函數關系，假定宏觀響應是細觀參數的線性疊加，且不同細觀參數之間不存在耦合，即：

(5)

(6)

其中：Xi表示細觀參數，ai和bi表示線性回歸系數，a0和b0為待定常數。為進行細觀參數的估計，先給定一組細觀參數初始值，對每一個細觀參數，在其他參數取值不變的情況下，單獨改變該參數的取值。分別取X={…,Xi,…}，X={…,Xi±ΔXi,…}和X={…,Xi±2ΔXi,…}5組細觀參數進行PFC2D模擬，得到5個與Xi不同取值對應的Fmax的值。以Xi為自變量對Fmax進行線性回歸，得到回歸直線方程和相關系數R2，回歸直線的斜率即為Xi對Fmax的線性回歸系數ai。同理求出細觀參數對dmax的線性回歸系數bi。此外，通常認為相關系數R2≥0.7時，兩變量具有相關性。基于這一考慮，當某一細觀參數對Fmax或dmax的相關系數R2<0.7時，認為其對應的線性回歸系數ai或bi為0，即這一細觀參數的取值變化對最大承載力Fmax或其對應的最大位移dmax沒有影響。將ai和bi與對應的細觀參數初始值相乘，所得結果與模擬得到的宏觀響應之差即為待定常數a0和b0。

(7)

圖1 巴西劈裂試驗PFC2D模型Fig.1 PFC2D model of Brazilian test

3 算例分析

翟越等[18]對C35商品混凝土試件了進行巴西劈裂試驗，試樣厚度50 mm，直徑100 mm。在PFC2D中建立這一試樣的離散元模型(如圖1)，試樣共由1 078個顆粒組成，顆粒半徑在1.0～2.0 mm內均勻分布，顆粒厚度為50 mm，利用剛性墻對試樣施加荷載。根據文獻[14-15]，表2給出了細觀參數的初始值。

表2 C35混凝土細觀參數的初始值Tab.2 Initial estimation of C35 concrete microparameters

由圖2可以看出，隨著接觸彈性模量Ec的增大，試樣的最大承載力呈減小趨勢，最大承載力對應的最大位移也逐漸減小。由圖3可以看出kn/ks取值的改變主要影響試樣最大承載力對應的最大位移，最大位移隨kn/ks的增大而增大。kn/ks取值的改變對最大承載力的影響并無明顯規律。

圖2 Ec對荷載-位移曲線的影響Fig.2 Influence of Ec on load-displacement curves

圖3 kn/ks對荷載-位移曲線的影響Fig.3 Influence of kn/kson load-displacement curves

由圖4可以看出，隨著摩擦系數μ的增大，試樣的最大承載力也逐漸增大，最大承載力對應的最大位移呈減小趨勢。摩擦系數的增大，限制了顆粒間滑移的發生，從而提高了承載力，減小了最大位移。

圖4 μ對荷載-位移曲線的影響Fig.4 Influence of μ on load-displacement curves

圖對荷載-位移曲線的影響Fig.5 Influence of on load-displacement curves

圖對荷載-位移曲線的影響Fig.6 Influence load-displacement curves

圖7 宏觀響應隨Ec的變化Fig.7 Variation of macroscopic response versus Ec

根據圖2～6所獲得的信息，繪制不同細觀參數對應的最大承載力和最大位移散點圖(圖7～11)。以各個細觀參數為自變量對最大承載力和最大位移進行線性回歸，得到回歸直線方程和相關系數R2也顯示于圖7～11中。

圖8 宏觀響應隨kn/ks的變化Fig.8 Variation of macroscopic response versuskn/ks

圖9 宏觀響應隨μ的變化Fig.9 Variation of macroscopic response versus μ

圖10 宏觀響應隨的變化Fig.10 Variation of macroscopic response

圖11 宏觀響應隨的變化Fig.11 Variation of macroscopic response

表3中列出的是根據圖7～11中的回歸直線方程和相關系數確定的各細觀參數的線性回歸系數。將表2中C35混凝土細觀參數初始估計值及表3中相應的線性回歸系數分別代入式(5)～(6)，即可計算得到待定常數ai和bi，從而得到宏觀響應與細觀參數近似的定量關系(式(8)～(9))。

表3 細觀參數對宏觀響應的線性回歸系數Tab.3 Linear regression coefficients of microparameters to macroscopic response

(8)

(9)

表4 C35混凝土細觀參數的估計值Tab.4 Estimated values of C35 concrete microparameters

圖12 PFC2D模擬與試驗荷載-位移曲線對比Fig.12 Comparison of load-displacement curves between PFC2D simulation and experiment

圖12是使用細觀參數初始值和估計值進行PFC2D模擬所得荷載-位移曲線與試驗結果的對比，通過模擬得到的兩條曲線與試驗曲線的相關系數分別為R2=0.767,R2=0.978,可以看出，使用估計值模擬得到的結果更加接近試驗曲線。但這一曲線在接近峰值承載力時出現下降然后略有上升的現象，這是由于與壓板接觸處的顆粒因應力集中而提前破壞后進一步壓實所產生的。試樣斷裂面及PFC2D模擬裂紋分布情況分別如圖13(a)、(b)所示，圖13(b)中深黑色表示顆粒間膠結體拉伸破壞，灰色表示膠結體剪切破壞。

圖13 試驗[18]與PFC2D模擬裂紋分布情況對比Fig.13 Comparison of crack distributions between test observation and PFC2D simulation

表5給出的是使用細觀參數初始值和估計值進行模擬與試驗曲線在不同位移處所得相對誤差的對比。可以看出，使用經過優化之后的細觀參數估計值計算得到的結果誤差明顯小于使用初始值得到的結果。

表5 使用不同參數在各個位移處的誤差對比Tab.5 Comparison of errors at each displacement using different parameters

由圖12～13和表5可以看出，使用表4中的細觀參數估計值，可以有效地模擬出混凝土試件在巴西劈裂試驗中的力學行為和破壞過程，模擬曲線與試驗曲線在整體變化趨勢上一致，最大承載力及其對應的最大位移與試驗結果比較接近。

4 結論

1) 離散元單元法的原理決定了只可以對顆粒的細觀參數進行賦值，如何使細觀參數計算結果與宏觀試驗結果吻合對PFC方法的應用是極其重要的。基于混凝土試樣的巴西劈裂試驗，提出了使用一組試驗數據并進行少量PFC2D計算以得到一組滿足工程需求的細觀參數的方法，避免了試錯法進行參數調整的盲目性，節約了參數估計的時間。

2) PFC2D混凝土試樣的最大承載力與Ec和μ相關，最大承載力隨著Ec的增大而減小，隨著μ的增大而增大；試驗最大承載力所對應的最大位移與Ec和kn/ks相關，最大位移隨著Ec的增大而減小，隨著kn/ks的增大而增大；試驗荷載-位移曲線的斜率也與Ec和μ相關，斜率隨著二者的增大而增大。

4) 利用本研究提出的細觀參數估計方法，得到了C35混凝土試件離散元細觀參數，PFC2D模擬結果表明，模擬曲線與試驗曲線吻合較好，兩者相關系數R2為0.978，驗證了該方法的有效性。

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