找準起點坐標，促進概念形成
——以“倍的認識”的教學為例

浙江平湖市叔同實驗小學（314200）

高斯曾經說過：“在數學中重要的不是符號，而是概念。”概念不僅是數學基礎知識的重要組成部分，更是學生理解、分析和解決問題的前提。概念學習分為兩種方式：概念形成與概念同化。所謂概念形成，是指從大量情境或實例出發，分析、類比、歸納，概括出概念的本質特征，從而形成新概念。盡管關注概念形成已成為共識，然而在具體的教學過程中仍然存在著許多不足。下面將以“倍的認識”一課的教學為例，通過分析教學現狀，給出相應的教學策略。

一、現狀

對于“倍的認識”這一課，“概念同化”是最常見的教學方式：首先借助主題圖與實物，展現圈一圈、擺一擺、畫一畫等圖示表征方式；然后師生共同概括出“倍”的概念；最后通過一系列變式，讓學生在觀察和操作中體會“一倍量”變化所引起的倍數變化，以及“‘一倍量’不變，倍數變化，比較的結果也在變化”。

然而，對于問題“□□□□□□，□的個數是○的3倍，○畫幾個？”有將近70%的學生認為是6×3=18（個），只有不到15%的學生能準確畫出2個○，并清楚地說出自己的想法。由此可見，這樣的概念教學方式存在著一些問題。

1.學習起點把握不準確，知識溝通不順暢

“倍的認識”是在學生學習了一、二年級的“比多少”和三年級的乘法知識之后教學的，“倍的認識”這一課是從兩個量的絕對數量的比較，向兩個量相對數量的比較之間的過渡，也是學習分數、百分數、比和函數等概念的基礎。其實對于學生而言，這兩種比較存在著共同點——都是通過一個量去說明另一個量，而“倍”更多的是關注多倍量中有幾個“一倍量”。然而，教師往往容易忽視學生對于比較兩個量的認識起點，輕視了“倍”與“比多少”“份”之間的聯系。這樣就導致新舊知識之間溝通不良，學生學習新概念如空中樓閣，沒有扎實的地基。

2.教學活動重同化過程，輕形成過程

對于“倍的認識”這一課的概念教學，很多教師采用概念同化的教學方式，以定義的方式呈現“倍”這一概念的本質特征，替代學生對概念本質屬性的揭示，以演繹的思維方式引導學生接受、理解概念，并將概念納入自身的概念體系中。這種“短平快”的概念教學方式，偏重講授概念的邏輯結構，忽視了知識的形成過程，導致學生對概念形成缺乏參與體驗，造成部分學生對于“倍”以誰為“標準”，以及“一倍量”“多倍量”的變化情況理解不到位。

3.練習層次不豐富，思維提升不顯著

在教學完“倍的認識”后，教師多采用各種變式練習來幫助學生鞏固“倍”的知識，往往缺少開放性問題，缺乏展現不同學生思維能力的平臺，從而造成學生在理解“倍”的本質時比較片面。

二、不同想法

1.以學情為導索，找準知識起點

教師在教學任何內容之前，都需要明確學生的已有生活經驗、認知水平和情感訴求，即學生的興趣點與困難所在，以學情為前提，找準知識的起點，也就是“以學生的活動為基點”來設計和展開教學，著重考慮學生需要學什么，怎樣學才能學得好。

（1）找準聯結點，情境導入

數學概念不是獨立存在的，它們在本質上都是有聯系的，因為數學中的任何一個概念，只有與其他概念相聯系，才能生成和發展。引導學生明確這些概念之間的聯系，找準新舊知識的聯結點，以學生的認知訴求為前提，并結合一定的教學情境，才能幫助學生更好地理解概念。

【教學片段1】

師（出示圖1）：你從圖中發現了什么？

生：多2個；多2倍；3倍。

圖1

圖2

師（出示圖2）：你又有什么發現？

師：圖1和圖2有什么相同點？

圖3

師：仔細觀察圖1和圖2，根據圖1和圖2的規律，圖3的橫線上應該畫幾個○？

生1：圖3的橫線上要畫○○○○○○○○○○○○。

師：為什么畫12個？

生1：圖1把一個看作1份，第二行有3份；圖2把2個看作1份，第二行有3份；圖3把4個看作1份，第二行也要畫3份。

對于兩個量之間的比較，既可以比較它們的絕對關系，比如“比多少”，還可以比較它們的相對關系，比如“倍”與“幾分之幾”。然而對于大部分三年級學生而言，“比多少”與“找規則”是已有經驗，“倍”是第一次接觸。通過比較圖1和圖2的相同點這一問題情境，學生找到新概念與已有知識之間的聯結點，既激發了學習興趣，又能從“倍”的角度思考問題，在教師的適時適度引導下“提領而頓，百毛皆順”。

（2）聚焦沖突點，建立模型

小學階段的概念學習往往是新的需要與學生原有的數學水平之間存在著認知沖突，而正是這種沖突就能引發學生的思考，讓學生產生新的學習內驅力。教師需要準確把握知識的沖突點，并以此為切入口，以清晰的圖形表征建立模型，幫助學生形成對倍的初步認識。

【教學片段2】

師（出示圖4）：你們能看懂圖4嗎？

圖4

圖5

師（出示圖5）：有同學是用框一框的方法，這是什么意思？能不能也這樣畫12個，并框一框呢？

師：我們把第一行的4個看成1份，第二行有這樣的3份，就是幾個幾？（3個4）可以說第二行○的個數是第一行的多少？

師：雖然圖1、2、3中的○數量都不一樣，但是第二行○的個數都是第一行的——3倍，如果現在要把第二行○的個數變成第一行的4倍，要增加幾個○呢？

師：現在都是4倍了，為什么有些地方增加了1個，有些地方增加了2個，而這里要增加4個呢？

“為什么畫12個？”這是本課的一個沖突點，借助“份”來幫助學生理解“倍”，通過研究一份和多份之間的關系，溝通“倍”與原有知識“份”之間的聯系，讓學生自發地想到兩個量之間還可以用“倍”來表示，促使學生理解“倍”的共同屬性。變式練習中“如果把第二行○的個數變成第一行的4倍，為什么每幅圖增加的個數不一樣？”這是第二個沖突點，通過畫一畫使學生理解因為“一倍量”不同，因此每次增加的個數也不同，使學生第一次感受到“一倍量”的重要性，從而為豐富“倍”的內涵服務。

2.以內容為抓手，完善形成過程

富蘭克林曾說：“告訴我的，我會忘記；展示給我的，我會記住；我參與其中的，我會理解與運用。”當課堂進入交流與合作探究的階段，如何讓不同層次的學生都能在共同參與的過程中形成“倍”的概念，理解其本質內涵，這離不開教師對教學內容的重新解讀與再設計，缺少不了對比辨析與強化練習。

（1）從文到形，對比顯本內涵

知識網絡的構建往往要經歷一個“建立—分解—重建”的過程，概念學習也是如此。學生經歷了概念的發生與形成后，更需要一個分解重建的過程，從而在對比練習中完善“倍”的模型。

【教學片段3】

圖6

圖7

師：紅蘿卜比白蘿卜多3根，對應的是圖6還是圖7？

師：紅蘿卜的根數是白蘿卜的4倍，對應的是圖6還是圖7？

師：對于圖6和圖7中的小A和小B，你覺得誰說的話更有水平？為什么？

生1：小B,因為他的一句話包括兩幅圖的內容。

師：紅蘿卜的根數是白蘿卜的4倍，可以表示紅蘿卜有4根，白蘿卜有1根；紅蘿卜有8根，白蘿卜有多少根？還可以表示紅蘿卜有幾根，白蘿卜有幾根？

師：這樣的例子舉得完嗎？只要符合怎樣的條件，紅蘿卜就是白蘿卜的4倍呢？

通過第一個問題“紅蘿卜比白蘿卜多3根”，找到匹配的是圖6，幫助學生回顧“比多少”的知識；對于第二個問題“紅蘿卜的根數是白蘿卜的4倍，對應的是圖6還是圖7”，學生的第一反應是選擇圖6，因為當“一倍量”為1個時，“多倍量”就是4個，在圖6上就能清晰地看到。也有學生發現還可以把2個白蘿卜看成1份，紅蘿卜就有4個2，因此也可以說紅蘿卜的根數是白蘿卜的4倍，這樣，一句話對應兩幅圖，打通了文字與圖形的壁壘。第三個問題“誰說的話更有水平”，學生明顯感到小B可以用一句話概括兩幅圖的意思，其實就突出了4倍的本質意義。最有價值的是最后一個問題“只要符合怎樣的條件，紅蘿卜就是白蘿卜的4倍呢？”，再次凸顯“倍”的本質屬性。

（2）由形到文，概括正核心

對“倍”的了解需要經歷一個繼續探究的過程，學生只有探究大量具體的實例后，才能逐步建立“倍”的概念。通過精練的語言描述能幫助學生重新審視“倍”的含義。

【教學片段4】

師（出示圖8和圖9）：我們剛才認識了新朋友——倍，接下來繼續用“倍”的眼光去解決一些問題。

圖8

圖9

師：圖8中男生人數是女生的多少？圖9中男生人數又是女生的多少？你能學聰明的小B用一句話同時表示兩幅圖的意思嗎？

師：你們都寫了男生人數是女生人數的3倍，怎么看出來的？

經歷了從文字到圖形的過程后，學生對“倍”有了較為深入的理解。這時，將練習進行反向操作，出示圖8和圖9，促使學生尋找兩幅圖的共同點，使學生盡可能地理解“倍”的本質。

3.以活動為載體，促進思維提升

課堂離不開教學活動的架構與展開，更離不開設計與實施。因此，教師可以根據學習內容創設具有開放性的問題，引導學生在質疑、解疑的過程中糾正思維偏差。

（1）異中求同顯本質

教學實踐發現，在概念教學過程中恰當地進行變式應用，變更概念中的非本質特征，變換問題中的條件或結論的形式或內容，能幫助學生提高識別、應變、概括的能力。

【教學片段5】

學生作品：

師：你們畫的都不一樣，但為什么都說圓形的個數是正方形的4倍？

師：擦掉一份，剩下的是幾倍的關系？（3倍）再擦掉一份，剩下的是幾倍的關系？（2倍）再擦一份，剩下的是幾倍的關系？（1倍）

“倍”的變化與“一倍量”“幾倍量”有關，通過這個習題，學生有機會投入到問題解決的完整過程，經歷從無序到有序的過程，更重要的是，學生再一次感受到只要“多倍量”中有4個“一倍量”，就可以說“多倍量”是“一倍量”的4倍，引導學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探索出“變”的規律。

（2）同中求異促提升

學生已經經歷了從初步感受“倍”到深入理解“倍”，再到全面剖析“倍”的過程，此時，教師可設計一個重新創造“倍”的練習，引導學生從“不變”的條件中創造“變”的倍數，使教學面向全體，使每個學生都有機會投入到思考問題與發現秘密的過程中，共同獲得思維的提升。

【教學片段6】

師：你認為三角形的個數是正方形的幾倍呢？把你想的畫下來。

師：1個就是12倍，2個就是……

師：三角形都是12個，為什么答案有2倍、3倍、4倍，還有1倍和12倍呢？

師：老師畫了5個正方形，你覺得對不對？

師：多了多少？如果要變成倍數關系，你有什么好辦法？

通過已知“多倍量”12個，使學生在觀察操作中經歷“倍”的“創造”過程，既能感受“一倍量”的重要性，更能體會有序思考的重要性。在課堂延伸部分，設計了2倍多一點，通過去掉2個或者加上3個，使其變成整倍數，這樣就與后續的分數知識進行了銜接。

概念學習是數學教學中的一個重要內容，教師要找準知識的起點，讓學生經歷數學知識的形成與應用過程，盡可能深入地理解概念的本質，并逐步會用一定的數學語言描述概念，幫助學生形成必要的數學技能，這就是數學概念教學的努力方向。

［1］高麗杰.從“形”到“數”，在不斷對比與抽象中認識“倍”［J］.小學數學教育，2010（7-8）.

［2］黃麗娟.在形象與抽象輪轉中靈動思維［J］.小學數學教育2014（9）.

［3］郭立軍，劉鳳偉.從概念同化到概念形成的教學實踐研究［J］.課堂.教材.教法，2016（8）.

［4］章穎.讀懂學生的明白，讓學生自然生長［J］.教學月刊（小學版），2017（10）.