順應學生思維發展方向 促進學生思維拔節生長
——因數和倍數的教學實踐與思考

江蘇鹽城市一小教育集團日月路校區（224005）

【案例背景】

因數和倍數是蘇教版教材五年級下冊的內容，它是數與代數部分重要的知識之一，是在學生已經初步認識自然數的基礎上教學的，它是因數和倍數單元的第一課時，所以能為學生進一步學習本單元的最大公因數和最小公倍數做鋪墊。2017年4月我第一次執教，課堂教學環環緊扣且滴水不漏，精致的課堂，精心的設計，良好的教學效果，可我總感覺少了些什么，反思后發現：學生在課堂上雖然較好地掌握了新知，但是思維卻被關在籠子里。所謂的環環緊扣，緊緊地束縛了學生思維，充滿了暗示的設計和一步一個臺階的鋪墊，讓學生失去了“英雄用武”的地方。一堂課結束，留給學生的只有摸著石頭過河的經驗而已。2017年的12月，我再次執教，這次我秉承“讓學生思維在課堂上生長”的理念進行授課，教學取得了令人滿意的效果。

【教學實踐】

課前，我首先深入了解學生，找準學生思維的起點，摸準學生思維發展的方向，順應學生思維發展的方向來設計教學。如果說第一次的課堂像一件正規的西裝，緊緊地束縛著我和學生，第二次的課堂就像一件休閑裝，學生的身心是自由的、開放的，學生的思維是活躍的。

一、逐步抽象，開啟學生的思維之門

師：看來，用12個小正方形擺不同的長方形，只有3種不同的擺法，由此得到了3個不同的乘法算式。今天我們要研究的內容就藏在這些乘法算式中，就以3×4=12為例。

師：3×4=12，數學上是這么介紹它們之間的關系——3是12的因數，4也是12的因數，也就是3和4都是12的因數。反過來，12是3的倍數，12也是4的倍數。

師：大家都聽明白了嗎?誰來試著說一說？

師（揭示課題：因數和倍數）：這就是我們今天要研究的內容。

師：這里還有兩道算式，你也能像我剛才那樣說一說嗎？

生1：我要說的是2×6=12，2是12的因數，6也是12的因數。反過來，12是2的倍數，12也是6的倍數。

生2：我要說的是1×12=12,1是12的因數，12也是12的因數。反過來，12是1的倍數,12也是12的倍數。

師：如果不擺圖形，誰能出一道類似這樣的算式，讓大家說一說它們之間的因數與倍數關系。

師：如果隱去算式，只給出方框里的兩個數，你能說一說哪個數是哪個數的因數，哪個數是哪個數的倍數嗎？

師（出示）：你是怎么想的？

生3：2×6=12，所以6是12的因數。反過來，12是6的倍數。

師：還可以想到什么算式？

生4：12÷6=2。有乘就有除。

師（出示）：你又想到了什么算式？

生5：我想到24÷12=2，所以12是24的因數。反過來，24是12的倍數。

師：這兩題里都有哪個數？

生6：12。

師：我能說12是倍數嗎？為什么？

生7：不能，要說清楚12是誰的倍數。12和24在一起的時候,12是24的因數。

師：是的，因數和倍數表達的是兩個數之間的關系，它們是相互依存的。要說清楚誰是誰的因數，誰是誰的倍數。

師（出示）:它們之間存在因數和倍數的關系嗎？

生8：不存在！12個小正方形，每排擺5個，不能擺出長方形。

師：是的。要注意的是，因數和倍數所說的數一般指不是0的自然數。

師：看來你們已經掌握因數和倍數的概念了。下面一起做一個游戲。我給出一個數36，請你報出一個數，然后說出它和36的關系及想到的算式。

生9：18。18是36的因數，36是18的倍數，我想到的算式是36÷18=2。

生10：4。4是36的因數，36是4的倍數，我想到的算式是 4×9=36。

生11：72。36是72的因數，72是36的倍數，我想到的算式是 72÷36=2。

……

【思考：首先，采用直觀形象的“用12個小正方形擺不同的長方形”的活動，得到乘法算式，教師根據其中的一個乘法算式“3×4=12”，介紹了因數和倍數的概念，然后讓學生說出另外兩個算式中存在的因數和倍數的關系，讓學生初步感受因數和倍數的概念，并加以運用。其次，讓學生不依賴正方形，直接說出一道算式，由其他同學說說這道算式存在的因數和倍數的關系，從而順利完成了第一步的抽象。緊接著，只給兩個數，要求學生說出哪個數是哪個數的因數，哪個數是哪個數的倍數。學生看到熟悉的6和12，能迅速調動之前拼長方形活動中積累的經驗，順利完成知識的正遷移，完成了第二次抽象，此時學生的思維之門已經悄然打開。最后，只給一個數36，讓學生報出一個數，并說出這個數和36的關系及想到的算式，激活了學生思維的興奮點。】

二、自主探索，推進學生思維的深入

師:我發現絕大部分同學報的都是36的因數，只有兩位同學報的是36的倍數。那下面我們就先來研究如何找36的因數。

師：你準備怎么找36的因數？

生1：4×9=36，4 和 9 都是 36 的因數。

師：你用（ ）×（ ）=36就找到了36的2個因數。

師：看來找36的一對因數不難，難就難在找出36的所有因數。想一想，怎么找才能不遺漏、不重復？

（課件出示：你能找到36的所有因數嗎？

1.想一想：怎么找才能不遺漏、不重復？

用算式記錄下你的想法，填寫在右邊的方框里。

2.寫一寫：把36的所有因數寫在橫線上。

36的因數有：________________。

3.完成后，先在小組里交流，說出你的想法。）

生2：我寫的算式有 4×9=36，6×6=36，1×36=36，2×18=36，找到 36 的因數有 4、9、6、6、1、36、2、18。

生3：他這里寫了兩個6，重復了，只要寫一個就行了。他還少寫3和12兩個因數。

師：是的，相同的因數只要寫一個就行了。想一想，怎么找才能不遺漏、不重復？

生4：乘法算式從1×36=36開始，按順序接著寫2×18=36，3×12=36 ，4×9=36 ，6×6=36。這樣一看就很清楚，而且不遺漏。

師：他說到了一個詞語——順序。也就是有序地列舉出36的所有因數，這樣能防止遺漏和重復。

【思考：在游戲中，由于36這個數相對較大，絕大部分學生報出的是36的因數，只有一個學生會報出36的倍數。順著學生思維發展的方向，教師就可以引導學生先研究如何找36的所有因數，此時學生迅速調動之前剛獲得的經驗，開始列舉36的因數，但是一開始的列舉是無序的、不全面的，在思考怎么找才能不重復、不遺漏的過程中，學生發現需要進行有序地列舉。這樣，在自主探索的過程中，學生的思維在不斷地向深處行進。】

三、猜數游戲，促進學生思維的生長

師：下面我們來玩一個猜數游戲，比比誰的腦力好。

師：有一個數，它有5個因數，按從小到大的順序這樣排，分別對應這五張卡片。（五張卡片依次貼在黑板上，卡片的背面分別寫著 1、2、4、8、16）

師：想一想，不需要翻就能知道哪一張卡片上的數？為什么？

生1：不翻就能知道第一張卡片上的數是1，因為任何一個自然數的最小因數就是1。

師：恭喜你，非常正確。

師：翻開哪一張就能知道這個數是多少？為什么？

生2：翻開最后一張卡片，就知道這個數是多少。因為每一個自然數，它的最大因數就是它本身。

師：你真棒！

師：那剩余的幾個因數應該在誰和誰之間？為什么？

生3：剩余幾個因數應該在1和16之間。因為16最小的因數是1，最大的因數是它本身16，所以其他因數應該在1和16之間。

師：這說明一個數的因數的個數是有限的。

師：下面我們接著玩猜數游戲。這里有一個數，我依找出它的前五個倍數，并按從小到大的順序排列好。（教師把五張卡片依次貼在黑板上，卡片的背面分別寫著 5、10、15、20、25）

師：翻開哪一張就能知道這個數是多少？為什么？

生4：翻開第一張，就能知道這個數是多少。因為任何一個自然數，它的第一個倍數就是用它乘1，也就等于它本身。

師:完全正確。還有不同的意見嗎？

生5：翻開任何一張都可以。第一張的數是這個數的1倍，第二張的數是這個數的2倍，第三張的數是這個數的3倍……依次類推，第五張的數除以5就可以得到這個數。

（教室響起熱烈的掌聲）

師：如果讓你繼續找下去，還可以找到5的倍數嗎？能找多少個？為什么？

生6：如果繼續找下去，可以找到無數個5的倍數，從5的一倍開始，5的兩倍，5的三倍到5的無數倍，所以5的倍數有無數個。

師：那一個數的倍數的個數是——

生（齊）：無限的。

【思考：在本環節的猜數游戲中，學生情緒飽滿，思維活躍。由于在猜數過程中，學生需要根據前面已有幾個數的因數和倍數，抽象概括出所有自然數的因數和倍數的共同特點，因此，在抽象、概括和推理的過程中，學生的思維在拔節生長。】

【案例反思】

1.開放的課堂，學生思維生長的沃土

“因數和倍數”屬于概念性的教學內容。我在第一次上課時不敢放手讓學生自主探索、自主構建，人為地搭起了密密麻麻的腳手架，環環緊扣、完整的設計，使學生失去了思考的自由性，在教師強拉硬拽的牽引之下，學生只能跟著教師走，思維的發展受到了限制，所以教師和學生都感受到了無形的束縛感。第二次上課時，我采取了開放式的教學設計，遵循學生思維發展的規律，順應學生思維發展的方向，讓學生在思考中經歷因數和倍數概念的逐步抽象過程，學生在自主探索找一個數的因數和倍數的方法過程中，思維在不斷地向深處行進。

2.活動中的追問，學生思維生長的階梯

數學是思維的體操，問題是思維的階梯！第二次上課時，我主要讓學生自主學習，通過以問引思，促進學生思維的發展。學生在自主探索如何找36的因數時，我的追問“怎樣找才能不重復，不遺漏？”就能引導學生的思考走向深層次，學生的思維也隨之拾級而上。接下來的猜數游戲中，學生思維的激情完全被點燃，學生在抽象概括出所有自然數的因數和倍數的共同特點的過程中，思維力在慢慢地生長，數學思想方法的種子也悄然播種在學生心田上。