談學(xué)生遷移能力的培養(yǎng)
——以等差數(shù)列為例

☉江蘇省張家港市沙洲中學(xué) 戴御梅

遷移能力的培養(yǎng)既是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)，也是學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知、發(fā)展數(shù)學(xué)思維的基本途徑.為了更加有效地培養(yǎng)學(xué)生的遷移能力，我們需要對學(xué)生思維的概括性、問題性以及相似性等特征予以充分關(guān)注.下面，筆者就以等差數(shù)列的教學(xué)為例，探討一下自己對這些問題的想法.

一、關(guān)注情境創(chuàng)設(shè)，有效培養(yǎng)學(xué)生的概括能力

學(xué)習(xí)情境對數(shù)學(xué)思維概括性的發(fā)展有著直接影響，而概括性又正是遷移能力發(fā)展的基礎(chǔ)所在.教學(xué)中，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)一個(gè)良性的學(xué)習(xí)情境，以便更好地發(fā)展學(xué)生思維的概括性.在創(chuàng)設(shè)過程中，教師務(wù)必要合理掌控復(fù)雜程度，要有效避免認(rèn)知的功能固著，引導(dǎo)學(xué)生思維發(fā)展的一般化.

1.在復(fù)合情境中探索數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)屬性

如果我們的學(xué)生是在一個(gè)復(fù)合抽象的學(xué)習(xí)情境中探索數(shù)學(xué)問題，他們的思維發(fā)展將更具彈性，這也有助于學(xué)生遷移能力的發(fā)展.比如，教學(xué)“等差數(shù)列”的概念時(shí)，我們引入的實(shí)例可以是一些相對比較復(fù)雜的情境，我們可以借助學(xué)生已經(jīng)具備的函數(shù)基礎(chǔ)來完成情境創(chuàng)設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到當(dāng)自變量分別取1、2、3、…時(shí)，f（x）=x+4，f（x）=7x-3，f（x）=x3+6等函數(shù)的取值特點(diǎn)，如此學(xué)生將從中把握住不同類型數(shù)列的基本特點(diǎn)，他們也將藉此而回歸數(shù)列的本源.通過對實(shí)例的分析，學(xué)生將從中發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的特點(diǎn)，即每一項(xiàng)和前一項(xiàng)的差值應(yīng)該是同一個(gè)常數(shù)，他們也將進(jìn)一步完成對等差數(shù)列基本概念的概括.

復(fù)合情境不但有助于學(xué)生把握研究對象之間的關(guān)系，而把握情境的本質(zhì)，以及對有關(guān)實(shí)例進(jìn)行數(shù)學(xué)化的過程將有助于學(xué)生概括能力的培養(yǎng)，而這種概括能力也恰恰是數(shù)學(xué)思維能夠靈活遷移的基礎(chǔ)所在.

2.在探索共性中實(shí)現(xiàn)模式一體化

發(fā)展學(xué)生的概括能力主要依賴于他們的問題共性意識，而這些意識的表現(xiàn)往往體現(xiàn)在他們在不同問題中探尋共同原理的過程.因此，教師引導(dǎo)學(xué)生對有關(guān)對象的共性展開探索是概括能力發(fā)展的基本途徑，這當(dāng)然也是教師情境創(chuàng)設(shè)的主要關(guān)注點(diǎn).

比如，在引導(dǎo)學(xué)生探索等差數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，我們可以將其與直線方程展開類比，啟發(fā)學(xué)生展開聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)共性.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an-a1=d（n-1）可以和直線方程y-y0=k（x-x0）進(jìn)行類比，其中公差d與斜率k、數(shù)列中的點(diǎn)（1，a1）與直線圖像上的點(diǎn)（x0，y0）展開對比，學(xué)生必然也會(huì)由此發(fā)現(xiàn)d與a1在等差數(shù)列中的地位，就相當(dāng)于k與（x0，y0）在函數(shù)中的地位，即這些都是研究對象的決定性因素.如此學(xué)生將探尋到等差數(shù)列和直線方程的共性，一些轉(zhuǎn)化的思想也將浸潤學(xué)生的大腦.

例1現(xiàn)有一個(gè)一次函數(shù)y=f（x），已知f（3）=5，且f（2）2=f（1）f（5），則f（1）+f（2）+…+f（6）=___________.

分析：我們將{f（n）}理解為一個(gè)等差數(shù)列，結(jié)合題設(shè)條件可知（5-2d）（5+2d）=（5-d）2（d≠0），可以解出d=2，因此可以用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法求得f（1）+f（2）+…+f（6）=36.

上述問題將等差數(shù)列的知識遷移到一次函數(shù)的問題分析中，通過這個(gè)問題，我們發(fā)現(xiàn)遷移的運(yùn)用很大程度上依賴于有關(guān)對象的共性.可以說，正是共性促成了一般化模式的形式，而共性也是問題隱含著的本質(zhì)性聯(lián)系，學(xué)生在問題分析過程中要有探求共性的基本意識和習(xí)慣.

二、關(guān)注問題表征，有效培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力

思維的問題性正是其遷移實(shí)現(xiàn)的基本途徑，而影響思維問題性的正是問題表征.杜威將問題解決的過程劃分為五個(gè)基本步驟，而第一個(gè)就是結(jié)合情境來感知問題，對問題進(jìn)行表征需要有鑒別以及轉(zhuǎn)化的能力.數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程在一定程度上是學(xué)生對思維模式的探索歷程，教師關(guān)注學(xué)生的問題表征能力和意識，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)遷移思維的發(fā)展.

1.以多元化的表征來探索問題的多途徑解決

問題表征對數(shù)學(xué)思維的遷移有著促進(jìn)作用，因?yàn)閿?shù)學(xué)問題的表征過程與最終的問題解決方法是相通的，在具體教學(xué)中，教師可以結(jié)合一些實(shí)例進(jìn)行示范和介紹.

例2 如圖1所示，∠O的兩條邊上存在各不相同的點(diǎn)A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…，而且所有的AnBn要相互平行，并且所有梯形AnBnBn+1An+1的面積大小都相等.假設(shè)OAn=an，如果a1=1，a2=2，請確定數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

分析：本題不但考查了學(xué)生對數(shù)列遞推求解通項(xiàng)公式的能力，也考查學(xué)生對相似三角形以及平行線分線段成比例等知識的認(rèn)識.

基本解答如下：

設(shè)S△OA1B1=m（m＞0），因?yàn)樗械腁nBn均相互平行，且a1=1，a2=2，所以S梯形AnBnBn+1An+1=S梯形A1B1B2A2=3m，

圖1

將上述各項(xiàng)進(jìn)行累乘處理，可得an2=（3n-2）a12.

又因?yàn)閍1=1，所以有an=.

以上解析綜合運(yùn)用了累乘法、遞推法來完成對問題的解答.

我們還可以引導(dǎo)學(xué)生從另外一個(gè)角度展開思考，由題意可得，所有的AnBn均相互平行，所以有

化簡可得an+12+an-12=2an2，令bn=an2，則{bn}是等差數(shù)列.

又b1=1，b2=4，則公差d=3.

所以bn=3n-2，則an=.

該解析方法在于找到{bn}是等差數(shù)列，并通過替換得到了最終的結(jié)論.這是從兩種不同的角度完成了對問題的表征，事實(shí)上，就數(shù)學(xué)問題的探索而言，問題表征的式樣越多，所對應(yīng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)也就更加豐富，達(dá)成遷移的可能性也就相對更大一些.

2.在表征方式轉(zhuǎn)換中發(fā)掘新問題

我們利用問題表征來完成問題解決的過程，其實(shí)與思維遷移過程是統(tǒng)一的，這也是探求問題解決的基本途徑.在利用問題表征來促進(jìn)學(xué)生發(fā)展遷移能力的教學(xué)中，教師務(wù)必要注意到從相似中探尋差異，引導(dǎo)學(xué)生由此來發(fā)掘新問題.

例3 令等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3=9，S6=36，請確定a7+a8+a9的值.

分析：上述問題的難度并不大，如果我們不對a7+a8+a9進(jìn)行任何轉(zhuǎn)化，只需要運(yùn)用公式S3=9，S6=36代入即可求得a1=1，d=2，所以有a7+a8+a9=3a8=3（1+7×2）=45.而這一點(diǎn)又啟發(fā)我們關(guān)注到等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn存在以下性質(zhì)：S3，S6-S3，S9-S6是等差數(shù)列，因此我們也可以直接這樣來求解答案：a7+a8+a9=S9-S6=2S6-3S3=45.

以上問題我們通過對表征目標(biāo)的轉(zhuǎn)化而獲得了新思路的啟發(fā)，從而以更加抽象的層面切入問題分析，由數(shù)學(xué)知識更加快捷地導(dǎo)出了問題結(jié)論，這實(shí)際上屬于思維的自動(dòng)化過程.教師在教學(xué)中，不但要引導(dǎo)學(xué)生把握住基本概念和定理，更要啟發(fā)學(xué)生從概念和定理出發(fā)，推導(dǎo)出新的知識，探求到新的結(jié)論.

三、關(guān)注元認(rèn)知，培養(yǎng)學(xué)生的類比能力

數(shù)學(xué)思維的相似性受到類比能力的影響，而這種相似性也直接為遷移提供了可靠的依據(jù).涂榮豹先生曾在《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)遷移》一文中指出，數(shù)學(xué)教學(xué)可以運(yùn)用元認(rèn)知提示的方法來幫助學(xué)習(xí)者將有關(guān)知識和能力遷移到新的情境之中，而無需進(jìn)行明顯提示.

1.以元認(rèn)知策略來催生類比意識

元認(rèn)知是對認(rèn)知過程的認(rèn)知，元認(rèn)知策略的基本內(nèi)容是監(jiān)控策略.因此，我們倡導(dǎo)學(xué)生在自我監(jiān)控和評價(jià)中促使自己完成有意識地學(xué)習(xí)遷移.比如，將等差數(shù)列理解為一次函數(shù)，將等比數(shù)列理解為指數(shù)型函數(shù)；等差數(shù)列有等差中項(xiàng)，等比數(shù)列亦存在等比中項(xiàng)；若p+q=m+n，在等差數(shù)列中有結(jié)論ap+aq=am+an，而等比數(shù)列也有apaq=aman；同樣是前n項(xiàng)的和Sn，在等差數(shù)列中，有Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…構(gòu)成等差數(shù)列，則在等比數(shù)列中，也有Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…構(gòu)成等比數(shù)列.在實(shí)際教學(xué)中，我們要鼓勵(lì)學(xué)生比較知識之間的相同和類似，并結(jié)合元認(rèn)知策略的使用來進(jìn)行反思和總結(jié).

2.在樣例學(xué)習(xí)中把握類比途徑

對高中生而言，樣例可以為他們提供可供模仿的學(xué)習(xí)材料，是一種可靠的學(xué)習(xí)手段，它一般包括問題、解決方法以及評論等三個(gè)部分.對樣例的研究有助于學(xué)生把握類比途徑，讓學(xué)生將樣例中所接觸的表征方法運(yùn)用到新的情境之中.因此我們在教學(xué)中應(yīng)該通過樣例啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識之間的關(guān)聯(lián)，由此提升他們的類比能力和遷移意識.

概括性、問題性以及相似性直接影響著思維遷移的效果，數(shù)學(xué)教師要把握學(xué)生在這三個(gè)方面的發(fā)展?fàn)顩r，并結(jié)合具體情況予以針對性的引導(dǎo)和幫扶，推動(dòng)他們思維品質(zhì)的良性發(fā)展.

1.涂榮豹.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)遷移［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2006（4）.

2.鄭成杰.對數(shù)學(xué)遷移問題的探討［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2012（5）.J